HOLE Home Higher-Order Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HOLE Home  >  Th. List  >  ax3 GIF version

Theorem ax3 205
Description: Axiom Transp. Axiom A3 of [Margaris] p. 49. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ax3.1 R:∗
ax3.2 S:∗
Assertion
Ref Expression
ax3 ⊤⊧[[(¬ R) ⇒ (¬ S)] ⇒ [SR]]

Proof of Theorem ax3
StepHypRef Expression
1 ax3.1 . . . . 5 R:∗
2 wnot 138 . . . . . 6 ¬ :(∗ → ∗)
32, 1wc 50 . . . . 5 R):∗
4 wim 137 . . . . . . . 8 ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
5 ax3.2 . . . . . . . . 9 S:∗
62, 5wc 50 . . . . . . . 8 S):∗
74, 3, 6wov 72 . . . . . . 7 [(¬ R) ⇒ (¬ S)]:∗
87, 5wct 48 . . . . . 6 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S):∗
91exmid 199 . . . . . 6 ⊤⊧[R R)]
108, 9a1i 28 . . . . 5 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S)⊧[R R)]
1110ax-cb1 29 . . . . . 6 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S):∗
1211, 1simpr 23 . . . . 5 (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S), R)⊧R
13 wfal 135 . . . . . . . 8 ⊥:∗
147id 25 . . . . . . . . . 10 [(¬ R) ⇒ (¬ S)]⊧[(¬ R) ⇒ (¬ S)]
153, 6, 14imp 157 . . . . . . . . 9 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R))⊧(¬ S)
1615ax-cb1 29 . . . . . . . . . 10 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R)):∗
175notval 145 . . . . . . . . . 10 ⊤⊧[(¬ S) = [S ⇒ ⊥]]
1816, 17a1i 28 . . . . . . . . 9 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R))⊧[(¬ S) = [S ⇒ ⊥]]
1915, 18mpbi 82 . . . . . . . 8 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R))⊧[S ⇒ ⊥]
205, 13, 19imp 157 . . . . . . 7 (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], (¬ R)), S)⊧⊥
2120an32s 60 . . . . . 6 (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S), (¬ R))⊧⊥
221pm2.21 153 . . . . . 6 ⊥⊧R
2321, 22syl 16 . . . . 5 (([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S), (¬ R))⊧R
241, 3, 1, 10, 12, 23ecase 163 . . . 4 ([(¬ R) ⇒ (¬ S)], S)⊧R
2524ex 158 . . 3 [(¬ R) ⇒ (¬ S)]⊧[SR]
26 wtru 43 . . 3 ⊤:∗
2725, 26adantl 56 . 2 (⊤, [(¬ R) ⇒ (¬ S)])⊧[SR]
2827ex 158 1 ⊤⊧[[(¬ R) ⇒ (¬ S)] ⇒ [SR]]
Colors of variables: type var term
Syntax hints:  hb 3  kc 5   = ke 7  kt 8  [kbr 9  kct 10  wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  tfal 118  ¬ tne 120  tim 121   tor 124
This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-wat 192  ax-ac 196
This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130  df-or 132
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator