HOLE Home Higher-Order Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HOLE Home  >  Th. List  >  ax5 GIF version

Theorem ax5 207
Description: Axiom of Quantified Implication. Axiom C4 of [Monk2] p. 105. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ax5.1 R:∗
ax5.2 S:∗
Assertion
Ref Expression
ax5 ⊤⊧[(λx:α [RS]) ⇒ [(λx:α R) ⇒ (λx:α S)]]
Distinct variable group:   α,x

Proof of Theorem ax5
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax5.2 . . . . . 6 S:∗
2 ax5.1 . . . . . . . 8 R:∗
32ax4 150 . . . . . . 7 (λx:α R)⊧R
4 wal 134 . . . . . . . 8 :((α → ∗) → ∗)
5 wim 137 . . . . . . . . . 10 ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
65, 2, 1wov 72 . . . . . . . . 9 [RS]:∗
76wl 66 . . . . . . . 8 λx:α [RS]:(α → ∗)
84, 7wc 50 . . . . . . 7 (λx:α [RS]):∗
93, 8adantl 56 . . . . . 6 ((λx:α [RS]), (λx:α R))⊧R
106ax4 150 . . . . . . 7 (λx:α [RS])⊧[RS]
113ax-cb1 29 . . . . . . 7 (λx:α R):∗
1210, 11adantr 55 . . . . . 6 ((λx:α [RS]), (λx:α R))⊧[RS]
131, 9, 12mpd 156 . . . . 5 ((λx:α [RS]), (λx:α R))⊧S
14 wv 64 . . . . . 6 y:α:α
154, 14ax-17 105 . . . . . . 7 ⊤⊧[(λx:α y:α) = ]
166, 14ax-hbl1 103 . . . . . . 7 ⊤⊧[(λx:α λx:α [RS]y:α) = λx:α [RS]]
174, 7, 14, 15, 16hbc 110 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α (λx:α [RS])y:α) = (λx:α [RS])]
182wl 66 . . . . . . 7 λx:α R:(α → ∗)
192, 14ax-hbl1 103 . . . . . . 7 ⊤⊧[(λx:α λx:α Ry:α) = λx:α R]
204, 18, 14, 15, 19hbc 110 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α (λx:α R)y:α) = (λx:α R)]
218, 14, 11, 17, 20hbct 155 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:α ((λx:α [RS]), (λx:α R))y:α) = ((λx:α [RS]), (λx:α R))]
2213, 21alrimi 182 . . . 4 ((λx:α [RS]), (λx:α R))⊧(λx:α S)
2322ex 158 . . 3 (λx:α [RS])⊧[(λx:α R) ⇒ (λx:α S)]
24 wtru 43 . . 3 ⊤:∗
2523, 24adantl 56 . 2 (⊤, (λx:α [RS]))⊧[(λx:α R) ⇒ (λx:α S)]
2625ex 158 1 ⊤⊧[(λx:α [RS]) ⇒ [(λx:α R) ⇒ (λx:α S)]]
Colors of variables: type var term
Syntax hints:  tv 1  ht 2  hb 3  kc 5  λkl 6  kt 8  [kbr 9  kct 10  wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  tim 121  tal 122
This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177
This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129
This theorem is referenced by:  ax11  214
  Copyright terms: Public domain W3C validator