HOLE Home Higher-Order Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HOLE Home  >  Th. List  >  axpow GIF version

Theorem axpow 221
Description: Axiom of Power Sets. An axiom of Zermelo-Fraenkel set theory. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
axpow.1 A:(α → ∗)
Assertion
Ref Expression
axpow ⊤⊧(λy:((α → ∗) → ∗) (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
Distinct variable groups:   x,y   y,A   y,z,α

Proof of Theorem axpow
Dummy variable p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wtru 43 . . . . 5 ⊤:∗
2 wal 134 . . . . . 6 :((α → ∗) → ∗)
3 wim 137 . . . . . . . 8 ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
4 wv 64 . . . . . . . . 9 z:(α → ∗):(α → ∗)
5 wv 64 . . . . . . . . 9 x:α:α
64, 5wc 50 . . . . . . . 8 (z:(α → ∗)x:α):∗
7 axpow.1 . . . . . . . . 9 A:(α → ∗)
87, 5wc 50 . . . . . . . 8 (Ax:α):∗
93, 6, 8wov 72 . . . . . . 7 [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]:∗
109wl 66 . . . . . 6 λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]:(α → ∗)
112, 10wc 50 . . . . 5 (λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]):∗
121, 11simpl 22 . . . 4 (⊤, (λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]))⊧⊤
1312ex 158 . . 3 ⊤⊧[(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]
1413alrimiv 151 . 2 ⊤⊧(λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])
15 wal 134 . . . 4 :(((α → ∗) → ∗) → ∗)
16 wv 64 . . . . . . 7 y:((α → ∗) → ∗):((α → ∗) → ∗)
1716, 4wc 50 . . . . . 6 (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)):∗
183, 11, 17wov 72 . . . . 5 [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]:∗
1918wl 66 . . . 4 λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]:((α → ∗) → ∗)
2015, 19wc 50 . . 3 (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]):∗
211wl 66 . . 3 λp:(α → ∗) ⊤:((α → ∗) → ∗)
2216, 21weqi 76 . . . . . . . . 9 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]:∗
2322id 25 . . . . . . . 8 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]
2416, 4, 23ceq1 89 . . . . . . 7 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)) = (λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗))]
25 wv 64 . . . . . . . . . . 11 p:(α → ∗):(α → ∗)
2625, 4weqi 76 . . . . . . . . . 10 [p:(α → ∗) = z:(α → ∗)]:∗
2726, 1eqid 83 . . . . . . . . 9 [p:(α → ∗) = z:(α → ∗)]⊧[⊤ = ⊤]
281, 4, 27cl 116 . . . . . . . 8 ⊤⊧[(λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗)) = ⊤]
2922, 28a1i 28 . . . . . . 7 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗)) = ⊤]
3017, 24, 29eqtri 95 . . . . . 6 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)) = ⊤]
313, 11, 17, 30oveq2 101 . . . . 5 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[[(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))] = [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]]
3218, 31leq 91 . . . 4 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))] = λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]]
3315, 19, 32ceq2 90 . . 3 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]) = (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])]
3420, 21, 33cla4ev 169 . 2 (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])⊧(λy:((α → ∗) → ∗) (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
3514, 34syl 16 1 ⊤⊧(λy:((α → ∗) → ∗) (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
Colors of variables: type var term
Syntax hints:  tv 1  ht 2  hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  kt 8  [kbr 9  wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  tim 121  tal 122  tex 123
This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113
This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator