HOLE Home Higher-Order Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HOLE Home  >  Th. List  >  axpow GIF version

Theorem axpow 208
Description: Axiom of Power Sets. An axiom of Zermelo-Fraenkel set theory.
Hypothesis
Ref Expression
axpow.1 A:(α → ∗)
Assertion
Ref Expression
axpow ⊤⊧(λy:((α → ∗) → ∗) (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
Distinct variable groups:   x,y   y,A   y,z,α

Proof of Theorem axpow
Dummy variable p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wtru 40 . . . . 5 ⊤:∗
2 wal 124 . . . . . 6 :((α → ∗) → ∗)
3 wim 127 . . . . . . . 8 ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
4 wv 58 . . . . . . . . 9 z:(α → ∗):(α → ∗)
5 wv 58 . . . . . . . . 9 x:α:α
64, 5wc 45 . . . . . . . 8 (z:(α → ∗)x:α):∗
7 axpow.1 . . . . . . . . 9 A:(α → ∗)
87, 5wc 45 . . . . . . . 8 (Ax:α):∗
93, 6, 8wov 64 . . . . . . 7 [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]:∗
109wl 59 . . . . . 6 λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]:(α → ∗)
112, 10wc 45 . . . . 5 (λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]):∗
121, 11simpl 22 . . . 4 (⊤, (λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]))⊧⊤
1312ex 148 . . 3 ⊤⊧[(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]
1413alrimiv 141 . 2 ⊤⊧(λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])
15 wal 124 . . . 4 :(((α → ∗) → ∗) → ∗)
16 wv 58 . . . . . . 7 y:((α → ∗) → ∗):((α → ∗) → ∗)
1716, 4wc 45 . . . . . 6 (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)):∗
183, 11, 17wov 64 . . . . 5 [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]:∗
1918wl 59 . . . 4 λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]:((α → ∗) → ∗)
2015, 19wc 45 . . 3 (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]):∗
211wl 59 . . 3 λp:(α → ∗) ⊤:((α → ∗) → ∗)
2216, 21weqi 68 . . . . . . . . 9 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]:∗
2322id 25 . . . . . . . 8 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]
2416, 4, 23ceq1 79 . . . . . . 7 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)) = (λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗))]
25 wv 58 . . . . . . . . . . 11 p:(α → ∗):(α → ∗)
2625, 4weqi 68 . . . . . . . . . 10 [p:(α → ∗) = z:(α → ∗)]:∗
2726, 1eqid 73 . . . . . . . . 9 [p:(α → ∗) = z:(α → ∗)]⊧[⊤ = ⊤]
281, 4, 27cl 106 . . . . . . . 8 ⊤⊧[(λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗)) = ⊤]
2922, 28a1i 28 . . . . . . 7 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(λp:(α → ∗) ⊤z:(α → ∗)) = ⊤]
3017, 24, 29eqtri 85 . . . . . 6 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗)) = ⊤]
313, 11, 17, 30oveq2 91 . . . . 5 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[[(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))] = [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]]
3218, 31leq 81 . . . 4 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))] = λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤]]
3315, 19, 32ceq2 80 . . 3 [y:((α → ∗) → ∗) = λp:(α → ∗) ⊤]⊧[(λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]) = (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])]
3420, 21, 33cla4ev 159 . 2 (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ ⊤])⊧(λy:((α → ∗) → ∗) (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
3514, 34syl 16 1 ⊤⊧(λy:((α → ∗) → ∗) (λz:(α → ∗) [(λx:α [(z:(α → ∗)x:α) ⇒ (Ax:α)]) ⇒ (y:((α → ∗) → ∗)z:(α → ∗))]))
Colors of variables: type var term
Syntax hints:  tv 1  ht 2  hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  kt 8  [kbr 9  wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  tim 111  tal 112  tex 113
This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-refl 39  ax-eqmp 42  ax-ded 43  ax-ceq 46  ax-beta 60  ax-distrc 61  ax-leq 62  ax-distrl 63  ax-hbl1 93  ax-17 95  ax-inst 103
This theorem depends on definitions:  df-ov 65  df-al 116  df-an 118  df-im 119  df-ex 121
  Copyright terms: Public domain W3C validator