Theorem axun 222

Description: Axiom of Union. An axiom of Zermelo-Fraenkel set theory. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
axun.1	⊢ A:((α → ∗) → ∗)

Assertion

Ref	Expression
axun	⊢ ⊤⊧(∃λy:(α → ∗) (∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]))

Distinct variable groups:   x,y   y,z   y,A   α,y,z

Proof of Theorem axun

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wtru 43	. . . . . 6 ⊢ ⊤:∗
2		wex 139	. . . . . . 7 ⊢ ∃:(((α → ∗) → ∗) → ∗)
3		wan 136	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ :(∗ → (∗ → ∗))
4		wv 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ x:(α → ∗):(α → ∗)
5		wv 64	. . . . . . . . . 10 ⊢ z:α:α
6	4, 5	wc 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (x:(α → ∗)z:α):∗
7		axun.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ A:((α → ∗) → ∗)
8	7, 4	wc 50	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ax:(α → ∗)):∗
9	3, 6, 8	wov 72	. . . . . . . 8 ⊢ [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]:∗
10	9	wl 66	. . . . . . 7 ⊢ λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]:((α → ∗) → ∗)
11	2, 10	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]):∗
12	1, 11	wct 48	. . . . 5 ⊢ (⊤, (∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))])):∗
13	12	trud 27	. . . 4 ⊢ (⊤, (∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]))⊧⊤
14	13	ex 158	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ ⊤]
15	14	alrimiv 151	. 2 ⊢ ⊤⊧(∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ ⊤])
16		wal 134	. . . 4 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
17		wim 137	. . . . . 6 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
18		wv 64	. . . . . . 7 ⊢ y:(α → ∗):(α → ∗)
19	18, 5	wc 50	. . . . . 6 ⊢ (y:(α → ∗)z:α):∗
20	17, 11, 19	wov 72	. . . . 5 ⊢ [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]:∗
21	20	wl 66	. . . 4 ⊢ λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]:(α → ∗)
22	16, 21	wc 50	. . 3 ⊢ (∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]):∗
23	1	wl 66	. . 3 ⊢ λp:α ⊤:(α → ∗)
24	18, 23	weqi 76	. . . . . . . . 9 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]:∗
25	24	id 25	. . . . . . . 8 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[y:(α → ∗) = λp:α ⊤]
26	18, 5, 25	ceq1 89	. . . . . . 7 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[(y:(α → ∗)z:α) = (λp:α ⊤z:α)]
27	1, 5, 24	a17i 106	. . . . . . 7 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[(λp:α ⊤z:α) = ⊤]
28	19, 26, 27	eqtri 95	. . . . . 6 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[(y:(α → ∗)z:α) = ⊤]
29	17, 11, 19, 28	oveq2 101	. . . . 5 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[[(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)] = [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ ⊤]]
30	20, 29	leq 91	. . . 4 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)] = λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ ⊤]]
31	16, 21, 30	ceq2 90	. . 3 ⊢ [y:(α → ∗) = λp:α ⊤]⊧[(∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]) = (∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ ⊤])]
32	22, 23, 31	cla4ev 169	. 2 ⊢ (∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ ⊤])⊧(∃λy:(α → ∗) (∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]))
33	15, 32	syl 16	1 ⊢ ⊤⊧(∃λy:(α → ∗) (∀λz:α [(∃λx:(α → ∗) [(x:(α → ∗)z:α) ∧ (Ax:(α → ∗))]) ⇒ (y:(α → ∗)z:α)]))

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ∧ tan 119   ⇒ tim 121  ∀tal 122  ∃tex 123

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129  df-ex 131

This theorem is referenced by: (None)