Theorem 0elon 4149

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 4148	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 3907	. . 3 |- (/) e. _V
3	2	elon 4131	. 2 |- ( (/) e. On <-> Ord (/) )
4	1, 3	mpbir 144	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 1434   (/)c0 3252   Ord word 4119   Oncon0 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-nul 3906

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-uni 3604  df-tr 3878  df-iord 4123  df-on 4125

This theorem is referenced by:  inton  4150  onn0  4157  onm  4158  limon  4259  ordtriexmid  4267  ordtri2orexmid  4268  onsucsssucexmid  4272  onsucelsucexmid  4275  ordsoexmid  4307  ordpwsucexmid  4315  ordtri2or2exmid  4316  tfr0dm  5965  1on  6066  ordgt0ge1  6076  omv  6093  oa0  6095  om0  6096  oei0  6097  omcl  6099  omv2  6103  oaword1  6108  nna0r  6115  nnm0r  6116  card0  6506