ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0ex Unicode version

Theorem 0ex 3912
Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 3911. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
0ex  |-  (/)  e.  _V

Proof of Theorem 0ex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-nul 3911 . . 3  |-  E. x A. y  -.  y  e.  x
2 eq0 3267 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
32exbii 1512 . . 3  |-  ( E. x  x  =  (/)  <->  E. x A. y  -.  y  e.  x )
41, 3mpbir 138 . 2  |-  E. x  x  =  (/)
54issetri 2581 1  |-  (/)  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   _Vcvv 2574   (/)c0 3252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-nul 3911
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-dif 2948  df-nul 3253
This theorem is referenced by:  0elpw  3945  0nep0  3946  iin0r  3950  intv  3951  snexprc  3966  p0ex  3967  0elon  4157  onm  4166  ordtriexmidlem2  4274  ordtriexmid  4275  ordtri2orexmid  4276  ontr2exmid  4278  onsucsssucexmid  4280  onsucelsucexmidlem1  4281  onsucelsucexmid  4283  regexmidlem1  4286  reg2exmidlema  4287  ordsoexmid  4314  0elsucexmid  4317  ordpwsucexmid  4322  ordtri2or2exmid  4324  peano1  4345  finds  4351  finds2  4352  0elnn  4368  opthprc  4419  nfunv  4961  fun0  4985  acexmidlema  5531  acexmidlemb  5532  acexmidlemab  5534  ovprc  5568  1st0  5799  2nd0  5800  brtpos0  5898  reldmtpos  5899  tfr0  5968  rdg0  6005  frec0g  6014  1n0  6047  el1o  6051  fnom  6061  omexg  6062  om0  6069  nnsucsssuc  6102  en0  6306  ensn1  6307  en1  6310  2dom  6316  xp1en  6328  endisj  6329  php5dom  6356  ssfiexmid  6367  diffitest  6375  ac6sfi  6383  indpi  6498  frecfzennn  9367  bj-d0clsepcl  10436  bj-indint  10442  bj-bdfindis  10459  bj-inf2vnlem1  10482
  Copyright terms: Public domain W3C validator