Theorem 0lt1 7889

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7726	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 7766	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 7765	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 7830	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 422	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 145	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   <RR cltrr 7624   < clt 7800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-0lt1 7726  ax-rnegex 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805

This theorem is referenced by:  ine0  8156  0le1  8243  inelr  8346  1ap0  8352  eqneg  8492  ltp1  8602  ltm1  8604  recgt0  8608  mulgt1  8621  reclt1  8654  recgt1  8655  recgt1i  8656  recp1lt1  8657  recreclt  8658  sup3exmid  8715  nnge1  8743  nngt0  8745  0nnn  8747  nnrecgt0  8758  0ne1  8787  2pos  8811  3pos  8814  4pos  8817  5pos  8820  6pos  8821  7pos  8822  8pos  8823  9pos  8824  neg1lt0  8828  halflt1  8937  nn0p1gt0  9006  elnnnn0c  9022  elnnz1  9077  recnz  9144  1rp  9445  divlt1lt  9511  divle1le  9512  ledivge1le  9513  nnledivrp  9553  fz10  9826  fzpreddisj  9851  elfz1b  9870  modqfrac  10110  expgt1  10331  ltexp2a  10345  leexp2a  10346  expnbnd  10415  expnlbnd  10416  expnlbnd2  10417  expcanlem  10462  expcan  10463  bcn1  10504  resqrexlem1arp  10777  mulcn2  11081  reccn2ap  11082  georeclim  11282  geoisumr  11287  cos1bnd  11466  sin01gt0  11468  sincos1sgn  11471  nnoddm1d2  11607  dvdsnprmd  11806  divdenle  11875  mopnex  12674  cos02pilt1  12932