Theorem 0lt1 7303

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	|- 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-0lt1 7144	. 2 |- 0 <RR 1
2		0re 7181	. . 3 |- 0 e. RR
3		1re 7180	. . 3 |- 1 e. RR
4		ltxrlt 7245	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 417	. 2 |- ( 0 < 1 <-> 0 <RR 1 )
6	1, 5	mpbir 144	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044   <RR cltrr 7047   < clt 7215

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1re 7132  ax-addrcl 7135  ax-0lt1 7144  ax-rnegex 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220

This theorem is referenced by:  ine0  7565  0le1  7652  inelr  7751  1ap0  7757  eqneg  7887  ltp1  7989  ltm1  7991  recgt0  7995  mulgt1  8008  reclt1  8041  recgt1  8042  recgt1i  8043  recp1lt1  8044  recreclt  8045  nnge1  8129  nngt0  8131  0nnn  8133  nnrecgt0  8143  0ne1  8173  2pos  8197  3pos  8200  4pos  8203  5pos  8206  6pos  8207  7pos  8208  8pos  8209  9pos  8210  neg1lt0  8214  halflt1  8315  nn0p1gt0  8384  elnnnn0c  8400  elnnz1  8455  recnz  8521  1rp  8819  divlt1lt  8882  divle1le  8883  ledivge1le  8884  nnledivrp  8918  fz10  9141  fzpreddisj  9164  elfz1b  9183  modqfrac  9419  expgt1  9611  ltexp2a  9625  leexp2a  9626  expnbnd  9693  expnlbnd  9694  expnlbnd2  9695  expcanlem  9740  expcan  9741  bcn1  9782  resqrexlem1arp  10029  mulcn2  10289  nnoddm1d2  10454  dvdsnprmd  10651