Theorem 0xp 4614

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0xp	|- ( (/) X. A ) = (/)

Proof of Theorem 0xp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4551	. . 3 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) )
2		noel 3362	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 520	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) -> x e. (/) )
4	2, 3	mto 651	. . . . . 6 |- -. ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
5	4	nex 1476	. . . . 5 |- -. E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
6	5	nex 1476	. . . 4 |- -. E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
7		noel 3362	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 690	. . 3 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) <-> z e. (/) )
9	1, 8	bitri 183	. 2 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> z e. (/) )
10	9	eqriv 2134	1 |- ( (/) X. A ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   (/)c0 3358   <.cop 3525   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985  df-xp 4540

This theorem is referenced by:  res0  4818  xp0  4953  xpeq0r  4956  xpdisj1  4958  xpima1  4980  xpfi  6811  exmidfodomrlemim  7050  hashxp  10565