Theorem 0zd 9059

Description: Zero is an integer, deductive form (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0zd	|- ( ph -> 0 e. ZZ )

Proof of Theorem 0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9058	. 2 |- 0 e. ZZ
2	1	a1i 9	1 |- ( ph -> 0 e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   0cc0 7613   ZZcz 9047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-rnegex 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-neg 7929  df-z 9048

This theorem is referenced by:  fzctr  9903  fzosubel3  9966  frecfzennn  10192  frechashgf1o  10194  0tonninf  10205  1tonninf  10206  exp3val  10288  exp0  10290  bcval  10488  bccmpl  10493  bcval5  10502  bcpasc  10505  bccl  10506  hashcl  10520  hashfiv01gt1  10521  hashfz1  10522  hashen  10523  fihashneq0  10534  omgadd  10541  fihashdom  10542  fnfz0hash  10568  ffzo0hash  10570  fzomaxdiflem  10877  fsumzcl  11164  fisum0diag  11203  fisum0diag2  11209  binomlem  11245  binom1dif  11249  isumnn0nn  11255  expcnvre  11265  explecnv  11267  pwm1geoserap1  11270  geolim  11273  geolim2  11274  geo2sum  11276  geoisum  11279  geoisumr  11280  mertenslemub  11296  mertenslemi1  11297  mertenslem2  11298  mertensabs  11299  eftcl  11349  efval  11356  eff  11358  efcvg  11361  efcvgfsum  11362  reefcl  11363  ege2le3  11366  efcj  11368  efaddlem  11369  eftlub  11385  effsumlt  11387  efgt1p2  11390  efgt1p  11391  eflegeo  11397  eirraplem  11472  dvdsmod  11549  gcdn0gt0  11655  gcdaddm  11661  gcdmultipled  11670  bezoutlemle  11685  nn0seqcvgd  11711  alginv  11717  algcvg  11718  algcvga  11721  algfx  11722  eucalgval2  11723  eucalgcvga  11728  eucalg  11729  lcmcllem  11737  lcmid  11750  mulgcddvds  11764  divgcdcoprmex  11772  cncongr1  11773  cncongr2  11774  phiprmpw  11887  ennnfonelemjn  11904  ennnfonelemh  11906  ennnfonelem0  11907  ennnfonelem1  11909  ennnfonelemom  11910  ennnfonelemkh  11914  ennnfonelemhf1o  11915  ennnfonelemex  11916  ennnfonelemrn  11921  ennnfonelemnn0  11924  ctinfomlemom  11929  isomninnlem  13214