ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1exp Unicode version

Theorem 1exp 10290
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 7729 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 3526 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 1ap0 8320 . . 3  |-  1 #  0
4 ax-1cn 7681 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 3634 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 3515 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 3515 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 5751 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 8840 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2166 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 eleq1 2180 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  _V  <->  1  e.  _V ) )
141, 13mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
x  x.  y )  e.  _V )
15 elsng 3512 . . . . . . 7  |-  ( ( x  x.  y )  e.  _V  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { 1 }  <->  ( x  x.  y )  =  1 ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { 1 }  <->  ( x  x.  y )  =  1 ) )
1716ibir 176 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
x  x.  y )  e.  { 1 } )
1812, 17syl 14 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
197oveq2d 5758 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
20 1div1e1 8432 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
2119, 20syl6eq 2166 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
22 eleq1 2180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
( 1  /  x
)  e.  _V  <->  1  e.  _V ) )
231, 22mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  _V )
24 elsng 3512 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  _V  ->  (
( 1  /  x
)  e.  { 1 }  <->  ( 1  /  x )  =  1 ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
( 1  /  x
)  e.  { 1 }  <->  ( 1  /  x )  =  1 ) )
2625ibir 176 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
2721, 26syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2827adantr 274 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x #  0 )  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ 1 } )
296, 18, 2, 28expcl2lemap 10273 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1 #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1 ^ N )  e.  {
1 } )
302, 3, 29mp3an12 1290 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
31 elsni 3515 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
3230, 31syl 14 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   {csn 3497   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    x. cmul 7593   # cap 8311    / cdiv 8400   ZZcz 9022   ^cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  exprecap  10302  sq1  10354  iexpcyc  10365  binom1p  11222  binom11  11223  esum  11295  ege2le3  11304  eirraplem  11410  ef2kpi  12814
  Copyright terms: Public domain W3C validator