ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1fv Unicode version

Theorem 1fv 9098
Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 8313 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 f1osng 5195 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
31, 2mpan 408 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4 f1ofo 5161 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5 dffo2 5138 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
65biimpi 117 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
7 fzsn 9031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
81, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98eqcomi 2060 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
109feq2i 5068 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  <->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
1110biimpi 117 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12 snssi 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  { N }  C_  V )
13 fss 5082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N }  /\  { N }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1411, 12, 13syl2an 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  N  e.  V
)  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1514ex 112 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
1615adantr 265 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } )  ->  ( N  e.  V  ->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
174, 6, 163syl 17 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
183, 17mpcom 36 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19 fvsng 5387 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0
)  =  N )
201, 19mpan 408 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N )
2118, 20jca 294 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2221adantr 265 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( {
<. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) )
23 feq1 5058 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24 fveq1 5205 . . . . 5  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 ) )
2524eqeq1d 2064 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P `  0
)  =  N  <->  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2623, 25anbi12d 450 . . 3  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2726adantl 266 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( ( P :
( 0 ... 0
) --> V  /\  ( P `  0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2822, 27mpbird 160 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409    C_ wss 2945   {csn 3403   <.cop 3406   ran crn 4374   -->wf 4926   -onto->wfo 4928   -1-1-onto->wf1o 4929   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   0cc0 6947   ZZcz 8302   ...cfz 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1re 7036  ax-addrcl 7039  ax-rnegex 7051  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-apti 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator