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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > 1idsr | Unicode version |
Description: 1 is an identity element for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2020.) |
Ref | Expression |
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1idsr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-nr 7018 |
. 2
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2 | oveq1 5570 |
. . 3
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3 | id 19 |
. . 3
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4 | 2, 3 | eqeq12d 2097 |
. 2
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5 | df-1r 7023 |
. . . 4
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6 | 5 | oveq2i 5574 |
. . 3
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7 | 1pr 6858 |
. . . . . 6
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8 | addclpr 6841 |
. . . . . 6
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9 | 7, 7, 8 | mp2an 417 |
. . . . 5
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10 | mulsrpr 7037 |
. . . . 5
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11 | 9, 7, 10 | mpanr12 430 |
. . . 4
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12 | distrprg 6892 |
. . . . . . . . 9
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13 | 7, 7, 12 | mp3an23 1261 |
. . . . . . . 8
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14 | 1idpr 6896 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | oveq1d 5578 |
. . . . . . . 8
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16 | 13, 15 | eqtr2d 2116 |
. . . . . . 7
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17 | distrprg 6892 |
. . . . . . . . 9
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18 | 7, 7, 17 | mp3an23 1261 |
. . . . . . . 8
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19 | 1idpr 6896 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | oveq1d 5578 |
. . . . . . . 8
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21 | 18, 20 | eqtrd 2115 |
. . . . . . 7
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22 | 16, 21 | oveqan12d 5582 |
. . . . . 6
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23 | simpl 107 |
. . . . . . 7
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24 | mulclpr 6876 |
. . . . . . . 8
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25 | 23, 7, 24 | sylancl 404 |
. . . . . . 7
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26 | mulclpr 6876 |
. . . . . . . . 9
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27 | 9, 26 | mpan2 416 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | adantl 271 |
. . . . . . 7
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29 | addassprg 6883 |
. . . . . . 7
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30 | 23, 25, 28, 29 | syl3anc 1170 |
. . . . . 6
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31 | mulclpr 6876 |
. . . . . . . 8
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32 | 23, 9, 31 | sylancl 404 |
. . . . . . 7
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33 | simpr 108 |
. . . . . . 7
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34 | mulclpr 6876 |
. . . . . . . 8
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35 | 33, 7, 34 | sylancl 404 |
. . . . . . 7
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36 | addcomprg 6882 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | adantl 271 |
. . . . . . 7
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38 | addassprg 6883 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | adantl 271 |
. . . . . . 7
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40 | 32, 33, 35, 37, 39 | caov12d 5733 |
. . . . . 6
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41 | 22, 30, 40 | 3eqtr3d 2123 |
. . . . 5
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42 | 9, 31 | mpan2 416 |
. . . . . . . . 9
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43 | 7, 34 | mpan2 416 |
. . . . . . . . 9
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44 | addclpr 6841 |
. . . . . . . . 9
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45 | 42, 43, 44 | syl2an 283 |
. . . . . . . 8
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46 | 7, 24 | mpan2 416 |
. . . . . . . . 9
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47 | addclpr 6841 |
. . . . . . . . 9
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48 | 46, 27, 47 | syl2an 283 |
. . . . . . . 8
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49 | 45, 48 | anim12i 331 |
. . . . . . 7
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50 | enreceq 7027 |
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51 | 49, 50 | syldan 276 |
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52 | 51 | anidms 389 |
. . . . 5
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53 | 41, 52 | mpbird 165 |
. . . 4
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54 | 11, 53 | eqtr4d 2118 |
. . 3
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55 | 6, 54 | syl5eq 2127 |
. 2
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56 | 1, 4, 55 | ecoptocl 6280 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3913 ax-sep 3916 ax-nul 3924 ax-pow 3968 ax-pr 3992 ax-un 4216 ax-setind 4308 ax-iinf 4357 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rab 2362 df-v 2612 df-sbc 2825 df-csb 2918 df-dif 2984 df-un 2986 df-in 2988 df-ss 2995 df-nul 3268 df-pw 3402 df-sn 3422 df-pr 3423 df-op 3425 df-uni 3622 df-int 3657 df-iun 3700 df-br 3806 df-opab 3860 df-mpt 3861 df-tr 3896 df-eprel 4072 df-id 4076 df-po 4079 df-iso 4080 df-iord 4149 df-on 4151 df-suc 4154 df-iom 4360 df-xp 4397 df-rel 4398 df-cnv 4399 df-co 4400 df-dm 4401 df-rn 4402 df-res 4403 df-ima 4404 df-iota 4917 df-fun 4954 df-fn 4955 df-f 4956 df-f1 4957 df-fo 4958 df-f1o 4959 df-fv 4960 df-ov 5566 df-oprab 5567 df-mpt2 5568 df-1st 5818 df-2nd 5819 df-recs 5974 df-irdg 6039 df-1o 6085 df-2o 6086 df-oadd 6089 df-omul 6090 df-er 6193 df-ec 6195 df-qs 6199 df-ni 6608 df-pli 6609 df-mi 6610 df-lti 6611 df-plpq 6648 df-mpq 6649 df-enq 6651 df-nqqs 6652 df-plqqs 6653 df-mqqs 6654 df-1nqqs 6655 df-rq 6656 df-ltnqqs 6657 df-enq0 6728 df-nq0 6729 df-0nq0 6730 df-plq0 6731 df-mq0 6732 df-inp 6770 df-i1p 6771 df-iplp 6772 df-imp 6773 df-enr 7017 df-nr 7018 df-mr 7020 df-1r 7023 |
This theorem is referenced by: pn0sr 7062 axi2m1 7155 ax1rid 7157 axcnre 7161 |
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