Theorem 1idssfct 10704

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	|- ( N e. NN -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8169	. . 3 |- 1 e. NN
2		nnz 8503	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1dvds 10417	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 || N )
5		breq1 3808	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( n || N <-> 1 || N ) )
6	5	elrab 2757	. . . 4 |- ( 1 e. { n e. NN | n || N } <-> ( 1 e. NN /\ 1 || N ) )
7	6	biimpri 131	. . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ 1 || N ) -> 1 e. { n e. NN | n || N } )
8	1, 4, 7	sylancr 405	. 2 |- ( N e. NN -> 1 e. { n e. NN | n || N } )
9		iddvds 10416	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N || N )
10	2, 9	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> N || N )
11		breq1 3808	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n || N <-> N || N ) )
12	11	elrab 2757	. . . 4 |- ( N e. { n e. NN | n || N } <-> ( N e. NN /\ N || N ) )
13	12	biimpri 131	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N || N ) -> N e. { n e. NN | n || N } )
14	10, 13	mpdan 412	. 2 |- ( N e. NN -> N e. { n e. NN | n || N } )
15		prssi 3563	. 2 |- ( ( 1 e. { n e. NN | n || N } /\ N e. { n e. NN | n || N } ) -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )
16	8, 14, 15	syl2anc 403	1 |- ( N e. NN -> { 1 , N } C_ { n e. NN | n || N } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   {crab 2357   C_ wss 2982   {cpr 3417   class class class wbr 3805   1c1 7096   NNcn 8158   ZZcz 8484   || cdvds 10403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-z 8485  df-dvds 10404

This theorem is referenced by:  isprm2  10706