ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idssfct Unicode version

Theorem 1idssfct 10704
Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
1idssfct  |-  ( N  e.  NN  ->  { 1 ,  N }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  N } )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem 1idssfct
StepHypRef Expression
1 1nn 8169 . . 3  |-  1  e.  NN
2 nnz 8503 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
3 1dvds 10417 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  ||  N )
5 breq1 3808 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  N  <->  1  ||  N ) )
65elrab 2757 . . . 4  |-  ( 1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N }  <->  ( 1  e.  NN  /\  1  ||  N ) )
76biimpri 131 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  ||  N )  -> 
1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N } )
81, 4, 7sylancr 405 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N }
)
9 iddvds 10416 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
102, 9syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  ||  N )
11 breq1 3808 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n  ||  N  <->  N  ||  N
) )
1211elrab 2757 . . . 4  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N }  <->  ( N  e.  NN  /\  N  ||  N ) )
1312biimpri 131 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  ||  N )  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N } )
1410, 13mpdan 412 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N }
)
15 prssi 3563 . 2  |-  ( ( 1  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  N }  /\  N  e. 
{ n  e.  NN  |  n  ||  N }
)  ->  { 1 ,  N }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  N } )
168, 14, 15syl2anc 403 1  |-  ( N  e.  NN  ->  { 1 ,  N }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   {crab 2357    C_ wss 2982   {cpr 3417   class class class wbr 3805   1c1 7096   NNcn 8158   ZZcz 8484    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-z 8485  df-dvds 10404
This theorem is referenced by:  isprm2  10706
  Copyright terms: Public domain W3C validator