ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2nq Unicode version

Theorem 1lt2nq 6562
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
1lt2nq  |-  1Q  <Q  ( 1Q  +Q  1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq
StepHypRef Expression
1 1lt2pi 6496 . . . . 5  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
2 1pi 6471 . . . . . 6  |-  1o  e.  N.
3 mulidpi 6474 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
42, 3ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( 1o 
.N  1o )  =  1o
54, 4oveq12i 5552 . . . . 5  |-  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( 1o  +N  1o )
61, 4, 53brtr4i 3820 . . . 4  |-  ( 1o 
.N  1o )  <N 
( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )
7 mulclpi 6484 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  .N  1o )  e.  N. )
82, 2, 7mp2an 410 . . . . 5  |-  ( 1o 
.N  1o )  e. 
N.
9 addclpi 6483 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  .N  1o )  e.  N.  /\  ( 1o  .N  1o )  e. 
N. )  ->  (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N. )
108, 8, 9mp2an 410 . . . . 5  |-  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N.
11 ltmpig 6495 . . . . 5  |-  ( ( ( 1o  .N  1o )  e.  N.  /\  (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  ( ( 1o  .N  1o )  <N  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  <->  ( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) ) )
128, 10, 2, 11mp3an 1243 . . . 4  |-  ( ( 1o  .N  1o ) 
<N  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  <-> 
( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) ) 
<N  ( 1o  .N  (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) )
136, 12mpbi 137 . . 3  |-  ( 1o 
.N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) )
14 ordpipqqs 6530 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N.  /\  ( 1o  .N  1o )  e.  N. )
)  ->  ( [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  <->  ( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) ) )
152, 2, 10, 8, 14mp4an 411 . . 3  |-  ( [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  <->  ( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) )
1613, 15mpbir 138 . 2  |-  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q
17 df-1nqqs 6507 . 2  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
1817, 17oveq12i 5552 . . 3  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  =  ( [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
19 addpipqqs 6526 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
202, 2, 2, 2, 19mp4an 411 . . 3  |-  ( [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q
2118, 20eqtri 2076 . 2  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  =  [ <. ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q
2216, 17, 213brtr4i 3820 1  |-  1Q  <Q  ( 1Q  +Q  1Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   [cec 6135   N.cnpi 6428    +N cpli 6429    .N cmi 6430    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   1Qc1q 6437    +Q cplq 6438    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-1nqqs 6507  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6563
  Copyright terms: Public domain W3C validator