Theorem 1pi 6556

Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6152	. 2 |- 1o e. om
2		1n0 6074	. 2 |- 1o =/= (/)
3		elni 6549	. 2 |- ( 1o e. N. <-> ( 1o e. om /\ 1o =/= (/) ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 884	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:   e. wcel 1434   =/= wne 2246   (/)c0 3252   omcom 4333   1oc1o 6052   N.cnpi 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-uni 3604  df-int 3639  df-suc 4128  df-iom 4334  df-1o 6059  df-ni 6545

This theorem is referenced by:  mulidpi  6559  1lt2pi  6581  nlt1pig  6582  indpi  6583  1nq  6607  1qec  6629  mulidnq  6630  1lt2nq  6647  archnqq  6658  prarloclemarch  6659  prarloclemarch2  6660  nnnq  6663  ltnnnq  6664  nq0m0r  6697  nq0a0  6698  addpinq1  6705  nq02m  6706  prarloclemlt  6734  prarloclemlo  6735  prarloclemn  6740  prarloclemcalc  6743  nqprm  6783  caucvgprlemm  6909  caucvgprprlemml  6935  caucvgprprlemmu  6936  caucvgsrlemasr  7017  caucvgsr  7029  nntopi  7111