ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1prl Unicode version

Theorem 1prl 6711
Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1prl  |-  ( 1st `  1P )  =  {
x  |  x  <Q  1Q }

Proof of Theorem 1prl
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-i1p 6623 . . 3  |-  1P  =  <. { x  |  x 
<Q  1Q } ,  {
y  |  1Q  <Q  y } >.
21fveq2i 5209 . 2  |-  ( 1st `  1P )  =  ( 1st `  <. { x  |  x  <Q  1Q } ,  { y  |  1Q  <Q  y } >. )
3 ltnqex 6705 . . 3  |-  { x  |  x  <Q  1Q }  e.  _V
4 gtnqex 6706 . . 3  |-  { y  |  1Q  <Q  y }  e.  _V
53, 4op1st 5801 . 2  |-  ( 1st `  <. { x  |  x  <Q  1Q } ,  { y  |  1Q  <Q  y } >. )  =  { x  |  x 
<Q  1Q }
62, 5eqtri 2076 1  |-  ( 1st `  1P )  =  {
x  |  x  <Q  1Q }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1259   {cab 2042   <.cop 3406   class class class wbr 3792   ` cfv 4930   1stc1st 5793   1Qc1q 6437    <Q cltq 6441   1Pc1p 6448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-1st 5795  df-qs 6143  df-ni 6460  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509  df-i1p 6623
This theorem is referenced by:  1idprl  6746  recexprlem1ssl  6789  recexprlemss1l  6791
  Copyright terms: Public domain W3C validator