Theorem 1sr 6979

Description: The constant 1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	|- 1R e. R.

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 6795	. . . . 5 |- 1P e. P.
2		addclpr 6778	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 417	. . . 4 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		opelxpi 4396	. . . 4 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) )
5	3, 1, 4	mp2an 417	. . 3 |- <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. )
6		enrex 6965	. . . 4 |- ~R e. _V
7	6	ecelqsi 6219	. . 3 |- ( <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
8	5, 7	ax-mp 7	. 2 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R )
9		df-1r 6960	. 2 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
10		df-nr 6955	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2161	1 |- 1R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 1434   <.cop 3403   X. cxp 4363  (class class class)co 5537   [cec 6163   /.cqs 6164   P.cnp 6532   1Pc1p 6533   +P. cpp 6534   ~R cer 6537   R.cnr 6538   1Rc1r 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-iplp 6709  df-enr 6954  df-nr 6955  df-1r 6960

This theorem is referenced by:  1ne0sr  6994  pn0sr  6999  ltadd1sr  7004  caucvgsrlemoffval  7023  caucvgsrlemofff  7024  caucvgsrlemoffcau  7025  caucvgsrlemoffgt1  7026  caucvgsrlemoffres  7027  caucvgsr  7029  pitonnlem2  7066  peano1nnnn  7071  peano2nnnn  7072  ax1cn  7080  ax1re  7081  axicn  7082  axi2m1  7092  ax1rid  7094  axprecex  7097  axcnre  7098