ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2ap0 Unicode version

Theorem 2ap0 8781
Description: The number 2 is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
2ap0  |-  2 #  0

Proof of Theorem 2ap0
StepHypRef Expression
1 2re 8758 . 2  |-  2  e.  RR
2 2pos 8779 . 2  |-  0  <  2
31, 2gt0ap0ii 8358 1  |-  2 #  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   class class class wbr 3899   0cc0 7588   # cap 8311   2c2 8739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-2 8747
This theorem is referenced by:  2div2e1  8820  4d2e2  8848  halfre  8901  1mhlfehlf  8906  halfpm6th  8908  2muliap0  8912  halfcl  8914  rehalfcl  8915  half0  8916  2halves  8917  halfaddsub  8922  xp1d2m1eqxm1d2  8940  div4p1lem1div2  8941  zneo  9120  nneoor  9121  nneo  9122  zeo  9124  zeo2  9125  halfthird  9292  qbtwnrelemcalc  10001  2tnp1ge0ge0  10042  zesq  10378  sqoddm1div8  10412  faclbnd2  10456  crre  10597  addcj  10631  resqrexlemover  10750  resqrexlemcalc1  10754  resqrexlemcvg  10759  maxabslemab  10946  max0addsup  10959  minabs  10975  bdtri  10979  arisum  11235  arisum2  11236  geo2sum  11251  geo2lim  11253  geoihalfsum  11259  ege2le3  11304  efgt0  11317  tanval2ap  11347  tanval3ap  11348  efi4p  11351  efival  11366  cosadd  11371  sinmul  11378  cosmul  11379  sin01bnd  11391  cos01bnd  11392  sin02gt0  11397  odd2np1  11497  mulsucdiv2z  11509  ltoddhalfle  11517  halfleoddlt  11518  nn0enne  11526  nn0o  11531  flodddiv4  11558  flodddiv4t2lthalf  11561  6lcm4e12  11695  sqrt2irrlem  11766  sqrt2irr  11767  oddennn  11832  evenennn  11833  coscn  12786  sinhalfpilem  12799  cospi  12808  ptolemy  12832  sincosq3sgn  12836  sincosq4sgn  12837  sinq12gt0  12838  cosq23lt0  12841  coseq00topi  12843  tangtx  12846  sincos4thpi  12848  sincos6thpi  12850  sincos3rdpi  12851  pigt3  12852  abssinper  12854  coskpi  12856
  Copyright terms: Public domain W3C validator