Theorem 2dom 6699

Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2dom	|- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem 2dom

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o2 6328	. . . 4 |- 2o = { (/) , { (/) } }
2	1	breq1i 3936	. . 3 |- ( 2o ~<_ A <-> { (/) , { (/) } } ~<_ A )
3		brdomi 6643	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
4	2, 3	sylbi 120	. 2 |- ( 2o ~<_ A -> E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A )
5		f1f 5328	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> f : { (/) , { (/) } } --> A )
6		0ex 4055	. . . . . 6 |- (/) e. _V
7	6	prid1 3629	. . . . 5 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
8		ffvelrn 5553	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ (/) e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` (/) ) e. A )
9	5, 7, 8	sylancl 409	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` (/) ) e. A )
10		p0ex 4112	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
11	10	prid2 3630	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
12		ffvelrn 5553	. . . . 5 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } --> A /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) -> ( f ` { (/) } ) e. A )
13	5, 11, 12	sylancl 409	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( f ` { (/) } ) e. A )
14		0nep0 4089	. . . . . 6 |- (/) =/= { (/) }
15	14	neii 2310	. . . . 5 |- -. (/) = { (/) }
16		f1fveq 5673	. . . . . 6 |- ( ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A /\ ( (/) e. { (/) , { (/) } } /\ { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) ) -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
17	7, 11, 16	mpanr12 435	. . . . 5 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> ( ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) <-> (/) = { (/) } ) )
18	15, 17	mtbiri 664	. . . 4 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) )
19		eqeq1 2146	. . . . . 6 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( x = y <-> ( f ` (/) ) = y ) )
20	19	notbid 656	. . . . 5 |- ( x = ( f ` (/) ) -> ( -. x = y <-> -. ( f ` (/) ) = y ) )
21		eqeq2 2149	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( ( f ` (/) ) = y <-> ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
22	21	notbid 656	. . . . 5 |- ( y = ( f ` { (/) } ) -> ( -. ( f ` (/) ) = y <-> -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) )
23	20, 22	rspc2ev 2804	. . . 4 |- ( ( ( f ` (/) ) e. A /\ ( f ` { (/) } ) e. A /\ -. ( f ` (/) ) = ( f ` { (/) } ) ) -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
24	9, 13, 18, 23	syl3anc 1216	. . 3 |- ( f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
25	24	exlimiv 1577	. 2 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } } -1-1-> A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )
26	4, 25	syl 14	1 |- ( 2o ~<_ A -> E. x e. A E. y e. A -. x = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120   ` cfv 5123   2oc2o 6307   ~<_ cdom 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-dom 6636

This theorem is referenced by: (None)