ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2dom Unicode version

Theorem 2dom 6344
Description: A set that dominates ordinal 2 has at least 2 different members. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
2dom  |-  ( 2o  ~<_  A  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem 2dom
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df2o2 6073 . . . 4  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
21breq1i 3794 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  A  <->  { (/) ,  { (/) } }  ~<_  A )
3 brdomi 6289 . . 3  |-  ( {
(/) ,  { (/) } }  ~<_  A  ->  E. f  f : { (/) ,  { (/) } } -1-1-> A )
42, 3sylbi 119 . 2  |-  ( 2o  ~<_  A  ->  E. f 
f : { (/) ,  { (/) } } -1-1-> A
)
5 f1f 5117 . . . . 5  |-  ( f : { (/) ,  { (/)
} } -1-1-> A  -> 
f : { (/) ,  { (/) } } --> A )
6 0ex 3907 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
76prid1 3500 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
8 ffvelrn 5326 . . . . 5  |-  ( ( f : { (/) ,  { (/) } } --> A  /\  (/) 
e.  { (/) ,  { (/)
} } )  -> 
( f `  (/) )  e.  A )
95, 7, 8sylancl 404 . . . 4  |-  ( f : { (/) ,  { (/)
} } -1-1-> A  -> 
( f `  (/) )  e.  A )
10 p0ex 3961 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
1110prid2 3501 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
12 ffvelrn 5326 . . . . 5  |-  ( ( f : { (/) ,  { (/) } } --> A  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } )  ->  ( f `  { (/) } )  e.  A )
135, 11, 12sylancl 404 . . . 4  |-  ( f : { (/) ,  { (/)
} } -1-1-> A  -> 
( f `  { (/)
} )  e.  A
)
14 0nep0 3941 . . . . . 6  |-  (/)  =/=  { (/)
}
1514neii 2248 . . . . 5  |-  -.  (/)  =  { (/)
}
16 f1fveq 5437 . . . . . 6  |-  ( ( f : { (/) ,  { (/) } } -1-1-> A  /\  ( (/)  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } } ) )  ->  ( (
f `  (/) )  =  ( f `  { (/)
} )  <->  (/)  =  { (/)
} ) )
177, 11, 16mpanr12 430 . . . . 5  |-  ( f : { (/) ,  { (/)
} } -1-1-> A  -> 
( ( f `  (/) )  =  ( f `
 { (/) } )  <->  (/)  =  { (/) } ) )
1815, 17mtbiri 633 . . . 4  |-  ( f : { (/) ,  { (/)
} } -1-1-> A  ->  -.  ( f `  (/) )  =  ( f `  { (/)
} ) )
19 eqeq1 2088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f `  (/) )  ->  ( x  =  y  <->  ( f `  (/) )  =  y ) )
2019notbid 625 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f `  (/) )  ->  ( -.  x  =  y  <->  -.  (
f `  (/) )  =  y ) )
21 eqeq2 2091 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  { (/) } )  -> 
( ( f `  (/) )  =  y  <->  ( f `  (/) )  =  ( f `  { (/) } ) ) )
2221notbid 625 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  { (/) } )  -> 
( -.  ( f `
 (/) )  =  y  <->  -.  ( f `  (/) )  =  ( f `  { (/)
} ) ) )
2320, 22rspc2ev 2716 . . . 4  |-  ( ( ( f `  (/) )  e.  A  /\  ( f `
 { (/) } )  e.  A  /\  -.  ( f `  (/) )  =  ( f `  { (/)
} ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y
)
249, 13, 18, 23syl3anc 1170 . . 3  |-  ( f : { (/) ,  { (/)
} } -1-1-> A  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y
)
2524exlimiv 1530 . 2  |-  ( E. f  f : { (/)
,  { (/) } } -1-1->
A  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
264, 25syl 14 1  |-  ( 2o  ~<_  A  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   (/)c0 3252   {csn 3400   {cpr 3401   class class class wbr 3787   -->wf 4922   -1-1->wf1 4923   ` cfv 4926   2oc2o 6053    ~<_ cdom 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-suc 4128  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fv 4934  df-1o 6059  df-2o 6060  df-dom 6282
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator