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Theorem 2exeu 2035
Description: Double existential uniqueness implies double uniqueness quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2exeu  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )

Proof of Theorem 2exeu
StepHypRef Expression
1 excom 1595 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
2 hbe1 1425 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ph  ->  A. x E. x ph )
32hbmo 1982 . . . . . . 7  |-  ( E* y E. x ph  ->  A. x E* y E. x ph )
4319.41h 1616 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph ) )
5 19.8a 1523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. x ph )
65moimi 2008 . . . . . . . 8  |-  ( E* y E. x ph  ->  E* y ph )
76anim2i 334 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
87eximi 1532 . . . . . 6  |-  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
94, 8sylbir 133 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
101, 9sylanb 278 . . . 4  |-  ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  ->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
11 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ph  /\  E* y ph )  ->  E. y ph )
1211moimi 2008 . . . . 5  |-  ( E* x E. y ph  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1312adantl 271 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  ->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
1410, 13anim12i 331 . . 3  |-  ( ( ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph )  /\  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
1514ancoms 264 . 2  |-  ( ( ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )  ->  ( E. x
( E. y ph  /\ 
E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
16 eu5 1990 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  <->  ( E. x E. y ph  /\  E* x E. y ph ) )
17 eu5 1990 . . 3  |-  ( E! y E. x ph  <->  ( E. y E. x ph  /\  E* y E. x ph ) )
1816, 17anbi12i 448 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  ( ( E. x E. y ph  /\ 
E* x E. y ph )  /\  ( E. y E. x ph  /\ 
E* y E. x ph ) ) )
19 eu5 1990 . . 3  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph ) )
20 eu5 1990 . . . . 5  |-  ( E! y ph  <->  ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2120exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. x E! y ph  <->  E. x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2220mobii 1980 . . . 4  |-  ( E* x E! y ph  <->  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) )
2321, 22anbi12i 448 . . 3  |-  ( ( E. x E! y
ph  /\  E* x E! y ph )  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2419, 23bitri 182 . 2  |-  ( E! x E! y ph  <->  ( E. x ( E. y ph  /\  E* y ph )  /\  E* x ( E. y ph  /\  E* y ph ) ) )
2515, 18, 243imtr4i 199 1  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   E.wex 1422   E!weu 1943   E*wmo 1944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947
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