Theorem 2moswapdc 2087

Description: A condition allowing swap of "at most one" and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2moswapdc	|- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2moswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1472	. . . 4 |- F/ y E. y ph
2	1	moexexdc 2081	. . 3 |- (DECID E. x E. y ph -> ( ( E* x E. y ph /\ A. x E* y ph ) -> E* y E. x ( E. y ph /\ ph ) ) )
3	2	expcomd 1417	. 2 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ( E. y ph /\ ph ) ) ) )
4		19.8a 1569	. . . . . 6 |- ( ph -> E. y ph )
5	4	pm4.71ri 389	. . . . 5 |- ( ph <-> ( E. y ph /\ ph ) )
6	5	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. x ph <-> E. x ( E. y ph /\ ph ) )
7	6	mobii 2034	. . 3 |- ( E* y E. x ph <-> E* y E. x ( E. y ph /\ ph ) )
8	7	imbi2i 225	. 2 |- ( ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) <-> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ( E. y ph /\ ph ) ) )
9	3, 8	syl6ibr 161	1 |- (DECID E. x E. y ph -> ( A. x E* y ph -> ( E* x E. y ph -> E* y E. x ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 819   A.wal 1329   E.wex 1468   E*wmo 1998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001

This theorem is referenced by:  2euswapdc  2088