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Theorem 2ralunsn 3598
Description: Double restricted quantification over the union of a set and a singleton, using implicit substitution. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2ralunsn.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ch ) )
2ralunsn.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2ralunsn.3  |-  ( x  =  B  ->  ( ps 
<->  th ) )
Assertion
Ref Expression
2ralunsn  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B, y    x, C    ch, x    ps, y    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    C( y)

Proof of Theorem 2ralunsn
StepHypRef Expression
1 2ralunsn.2 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
21ralunsn 3597 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  ( A. y  e.  A  ph  /\  ps ) ) )
32ralbidv 2369 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  A. x  e.  ( A  u.  { B } ) ( A. y  e.  A  ph  /\  ps ) ) )
4 2ralunsn.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ch ) )
54ralbidv 2369 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. y  e.  A  ph  <->  A. y  e.  A  ch ) )
6 2ralunsn.3 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( ps 
<->  th ) )
75, 6anbi12d 457 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A. y  e.  A  ph  /\  ps ) 
<->  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) )
87ralunsn 3597 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) ( A. y  e.  A  ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ph  /\  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
9 r19.26 2486 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ph 
/\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  /\  A. x  e.  A  ps ) )
109anbi1i 446 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ph 
/\  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) )  <-> 
( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  /\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) )
118, 10syl6bb 194 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) ( A. y  e.  A  ph  /\  ps )  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  /\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
123, 11bitrd 186 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  { B } ) A. y  e.  ( A  u.  { B } ) ph  <->  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  A  ps )  /\  ( A. y  e.  A  ch  /\  th ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349    u. cun 2972   {csn 3406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-sn 3412
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