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Theorem 2reuswapdc 2766
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswapdc  |-  (DECID  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reuswapdc
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2331 . . 3  |-  ( E* y  e.  B  ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2347 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 df-ral 2328 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 1991 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54albii 1375 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
63, 5bitr4i 180 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
7 df-reu 2330 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
8 r19.42v 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
9 df-rex 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
108, 9bitr3i 179 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
11 an12 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1211exbii 1512 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
1310, 12bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1413eubii 1925 . . . . . 6  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
157, 14bitri 177 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
16 2euswapdc 2007 . . . . 5  |-  (DECID  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  -> 
( E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) ) ) )
1715, 16syl7bi 158 . . . 4  |-  (DECID  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  -> 
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) ) ) )
18 df-reu 2330 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y
( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
19 r19.42v 2484 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
20 df-rex 2329 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2119, 20bitr3i 179 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2221eubii 1925 . . . . . 6  |-  ( E! y ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph )  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2318, 22bitri 177 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2423imbi2i 219 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) ) )
2517, 24syl6ibr 155 . . 3  |-  (DECID  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  -> 
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
266, 25syl5bi 145 . 2  |-  (DECID  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
272, 26syl5bi 145 1  |-  (DECID  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B  ph 
->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101  DECID wdc 753   A.wal 1257   E.wex 1397    e. wcel 1409   E!weu 1916   E*wmo 1917   A.wral 2323   E.wrex 2324   E!wreu 2325   E*wrmo 2326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331
This theorem is referenced by: (None)
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