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Theorem 2rmorex 2768
Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2002. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2rmorex  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2rmorex
StepHypRef Expression
1 df-rex 2329 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21anbi2i 438 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  ( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
32mobii 1953 . . . . . 6  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 df-rmo 2331 . . . . . 6  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
5 19.42v 1802 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
65mobii 1953 . . . . . 6  |-  ( E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
73, 4, 63bitr4i 205 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
8 2moex 2002 . . . . 5  |-  ( E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
97, 8sylbi 118 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
10 an12 503 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
1110mobii 1953 . . . . 5  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* x
( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1211albii 1375 . . . 4  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. y E* x ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
139, 12sylib 131 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y E* x ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
14 moanimv 1991 . . . 4  |-  ( E* x ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( y  e.  B  ->  E* x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1514albii 1375 . . 3  |-  ( A. y E* x ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1613, 15sylib 131 . 2  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y ( y  e.  B  ->  E* x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
17 df-ral 2328 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x  e.  A  ph ) )
18 df-rmo 2331 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  E* x ( x  e.  A  /\  ph )
)
1918imbi2i 219 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  ->  E* x  e.  A  ph )  <->  ( y  e.  B  ->  E* x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
2019albii 1375 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  B  ->  E* x  e.  A  ph )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
2117, 20bitri 177 . 2  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
2216, 21sylibr 141 1  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257   E.wex 1397    e. wcel 1409   E*wmo 1917   A.wral 2323   E.wrex 2324   E*wrmo 2326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rmo 2331
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