Theorem 3decltc 9207

Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3decltc.a	|- A e. NN0
3decltc.b	|- B e. NN0
3decltc.c	|- C e. NN0
3decltc.d	|- D e. NN0
3decltc.e	|- E e. NN0
3decltc.f	|- F e. NN0
3decltc.3	|- A < B
3decltc.1	|- C < ; 1 0
3decltc.2	|- E < ; 1 0

Assertion

Ref	Expression
3decltc	|- ;; A C E < ;; B D F

Proof of Theorem 3decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3decltc.a	. . 3 |- A e. NN0
2		3decltc.c	. . 3 |- C e. NN0
3	1, 2	deccl 9189	. 2 |- ; A C e. NN0
4		3decltc.b	. . 3 |- B e. NN0
5		3decltc.d	. . 3 |- D e. NN0
6	4, 5	deccl 9189	. 2 |- ; B D e. NN0
7		3decltc.e	. 2 |- E e. NN0
8		3decltc.f	. 2 |- F e. NN0
9		3decltc.2	. 2 |- E < ; 1 0
10		3decltc.1	. . 3 |- C < ; 1 0
11		3decltc.3	. . 3 |- A < B
12	1, 4, 2, 5, 10, 11	decltc 9203	. 2 |- ; A C < ; B D
13	3, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 9203	1 |- ;; A C E < ;; B D F

Syntax hints:   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   0cc0 7613   1c1 7614   < clt 7793   NN0cn0 8970  ;cdc 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-n0 8971  df-z 9048  df-dec 9176

This theorem is referenced by: (None)