Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dvdsdec Unicode version

Theorem 3dvdsdec 10176
 Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if and actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers and , especially if is itself a decimal number, e.g. ;. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a
3dvdsdec.b
Assertion
Ref Expression
3dvdsdec ;

Proof of Theorem 3dvdsdec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 8430 . . . 4 ; ;
2 9p1e10 8429 . . . . . . . 8 ;
32eqcomi 2060 . . . . . . 7 ;
43oveq1i 5550 . . . . . 6 ;
5 9cn 8078 . . . . . . 7
6 ax-1cn 7035 . . . . . . 7
7 3dvdsdec.a . . . . . . . 8
87nn0cni 8251 . . . . . . 7
95, 6, 8adddiri 7096 . . . . . 6
108mulid2i 7088 . . . . . . 7
1110oveq2i 5551 . . . . . 6
124, 9, 113eqtri 2080 . . . . 5 ;
1312oveq1i 5550 . . . 4 ;
145, 8mulcli 7090 . . . . 5
15 3dvdsdec.b . . . . . 6
1615nn0cni 8251 . . . . 5
1714, 8, 16addassi 7093 . . . 4
181, 13, 173eqtri 2080 . . 3 ;
1918breq2i 3800 . 2 ;
20 3z 8331 . . 3
217nn0zi 8324 . . . 4
2215nn0zi 8324 . . . 4
23 zaddcl 8342 . . . 4
2421, 22, 23mp2an 410 . . 3
25 9nn 8151 . . . . . 6
2625nnzi 8323 . . . . 5
27 zmulcl 8355 . . . . 5
2826, 21, 27mp2an 410 . . . 4
29 zmulcl 8355 . . . . . . 7
3020, 21, 29mp2an 410 . . . . . 6
31 dvdsmul1 10129 . . . . . 6
3220, 30, 31mp2an 410 . . . . 5
33 3t3e9 8140 . . . . . . . 8
3433eqcomi 2060 . . . . . . 7
3534oveq1i 5550 . . . . . 6
36 3cn 8065 . . . . . . 7
3736, 36, 8mulassi 7094 . . . . . 6
3835, 37eqtri 2076 . . . . 5
3932, 38breqtrri 3817 . . . 4
4028, 39pm3.2i 261 . . 3
41 dvdsadd2b 10154 . . 3
4220, 24, 40, 41mp3an 1243 . 2
4319, 42bitr4i 180 1 ;
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 101   wb 102   wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cc0 6947  c1 6948   caddc 6950   cmul 6952  c3 8041  c9 8047  cn0 8239  cz 8302  ;cdc 8427   cdvds 10108 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-5 8052  df-6 8053  df-7 8054  df-8 8055  df-9 8056  df-n0 8240  df-z 8303  df-dec 8428  df-dvds 10109 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator