ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6 Unicode version

Theorem 3lcm2e6 11765
Description: The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6  |-  ( 3 lcm  2 )  =  6

Proof of Theorem 3lcm2e6
StepHypRef Expression
1 2re 8758 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 2lt3 8858 . . . . . 6  |-  2  <  3
31, 2gtneii 7827 . . . . 5  |-  3  =/=  2
4 3prm 11736 . . . . . 6  |-  3  e.  Prime
5 2prm 11735 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
6 prmrp 11750 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( 3  gcd  2
)  =  1  <->  3  =/=  2 ) )
74, 5, 6mp2an 422 . . . . 5  |-  ( ( 3  gcd  2 )  =  1  <->  3  =/=  2 )
83, 7mpbir 145 . . . 4  |-  ( 3  gcd  2 )  =  1
98oveq2i 5753 . . 3  |-  ( ( 3 lcm  2 )  x.  ( 3  gcd  2
) )  =  ( ( 3 lcm  2 )  x.  1 )
10 3nn 8850 . . . 4  |-  3  e.  NN
11 2nn 8849 . . . 4  |-  2  e.  NN
12 lcmgcdnn 11690 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( 3 lcm  2 )  x.  ( 3  gcd  2 ) )  =  ( 3  x.  2 ) )
1310, 11, 12mp2an 422 . . 3  |-  ( ( 3 lcm  2 )  x.  ( 3  gcd  2
) )  =  ( 3  x.  2 )
1410nnzi 9043 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
1511nnzi 9043 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
16 lcmcl 11680 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 3 lcm  2 )  e.  NN0 )
1714, 15, 16mp2an 422 . . . . 5  |-  ( 3 lcm  2 )  e.  NN0
1817nn0cni 8957 . . . 4  |-  ( 3 lcm  2 )  e.  CC
1918mulid1i 7736 . . 3  |-  ( ( 3 lcm  2 )  x.  1 )  =  ( 3 lcm  2 )
209, 13, 193eqtr3ri 2147 . 2  |-  ( 3 lcm  2 )  =  ( 3  x.  2 )
21 3t2e6 8844 . 2  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
2220, 21eqtri 2138 1  |-  ( 3 lcm  2 )  =  6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285  (class class class)co 5742   1c1 7589    x. cmul 7593   NNcn 8688   2c2 8739   3c3 8740   6c6 8743   NN0cn0 8945   ZZcz 9022    gcd cgcd 11562   lcm clcm 11668   Primecprime 11715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-1o 6281  df-2o 6282  df-er 6397  df-en 6603  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563  df-lcm 11669  df-prm 11716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator