ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4dvdseven Unicode version

Theorem 4dvdseven 10461
Description: An integer which is divisible by 4 is an even integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
4dvdseven  |-  ( 4 
||  N  ->  2  ||  N )

Proof of Theorem 4dvdseven
StepHypRef Expression
1 2z 8460 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
21a1i 9 . . 3  |-  ( 4 
||  N  ->  2  e.  ZZ )
3 4z 8462 . . . 4  |-  4  e.  ZZ
43a1i 9 . . 3  |-  ( 4 
||  N  ->  4  e.  ZZ )
5 dvdszrcl 10345 . . . 4  |-  ( 4 
||  N  ->  (
4  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
65simprd 112 . . 3  |-  ( 4 
||  N  ->  N  e.  ZZ )
72, 4, 63jca 1119 . 2  |-  ( 4 
||  N  ->  (
2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
8 z4even 10460 . . 3  |-  2  ||  4
98jctl 307 . 2  |-  ( 4 
||  N  ->  (
2  ||  4  /\  4  ||  N ) )
10 dvdstr 10377 . 2  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  4  /\  4  ||  N )  ->  2  ||  N
) )
117, 9, 10sylc 61 1  |-  ( 4 
||  N  ->  2  ||  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   2c2 8156   4c4 8158   ZZcz 8432    || cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-dvds 10341
This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  10480
  Copyright terms: Public domain W3C validator