Theorem 4nn 8876

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	|- 4 e. NN

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 8774	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
2		3nn 8875	. . 3 |- 3 e. NN
3		peano2nn 8725	. . 3 |- ( 3 e. NN -> ( 3 + 1 ) e. NN )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( 3 + 1 ) e. NN
5	1, 4	eqeltri 2210	1 |- 4 e. NN

Syntax hints:   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   1c1 7614   + caddc 7616   NNcn 8713   3c3 8765   4c4 8766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774

This theorem is referenced by:  5nn  8877  4nn0  8989  4z  9077  fldiv4p1lem1div2  10071  iexpcyc  10390  resqrexlemnmsq  10782  ef01bndlem  11452  flodddiv4  11620  flodddiv4t2lthalf  11623  6lcm4e12  11757  starvndx  12067  starvid  12068  starvslid  12069  srngstrd  12070  dveflem  12844  tan4thpi  12911