Theorem 4pos 8203

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	|- 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 8180	. . 3 |- 3 e. RR
2		1re 7180	. . 3 |- 1 e. RR
3		3pos 8200	. . 3 |- 0 < 3
4		0lt1 7303	. . 3 |- 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 7659	. 2 |- 0 < ( 3 + 1 )
6		df-4 8167	. 2 |- 4 = ( 3 + 1 )
7	5, 6	breqtrri 3818	1 |- 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   0cc0 7043   1c1 7044   + caddc 7046   < clt 7215   3c3 8157   4c4 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167

This theorem is referenced by:  4ne0  8204  4ap0  8205  5pos  8206  8th4div3  8317  div4p1lem1div2  8351  fldiv4p1lem1div2  9387  iexpcyc  9676  faclbnd2  9766  resqrexlemover  10034  resqrexlemcalc1  10038  resqrexlemcalc2  10039  resqrexlemcalc3  10040  resqrexlemnm  10042  resqrexlemga  10047  sqrt2gt1lt2  10073  flodddiv4  10478