ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 Unicode version

Theorem 6lcm4e12 11695
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12  |-  ( 6 lcm  4 )  = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 8770 . . . 4  |-  6  e.  CC
2 4cn 8766 . . . 4  |-  4  e.  CC
31, 2mulcli 7739 . . 3  |-  ( 6  x.  4 )  e.  CC
4 6nn0 8966 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
54nn0zi 9044 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
6 4z 9052 . . . 4  |-  4  e.  ZZ
7 lcmcl 11680 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6 lcm  4 )  e.  NN0 )
87nn0cnd 9000 . . . 4  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6 lcm  4 )  e.  CC )
95, 6, 8mp2an 422 . . 3  |-  ( 6 lcm  4 )  e.  CC
10 gcdcl 11582 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  4
)  e.  NN0 )
1110nn0cnd 9000 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  4
)  e.  CC )
125, 6, 11mp2an 422 . . . 4  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  CC
135, 6pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )
14 4ne0 8786 . . . . . . . . 9  |-  4  =/=  0
1514neii 2287 . . . . . . . 8  |-  -.  4  =  0
1615intnan 899 . . . . . . 7  |-  -.  (
6  =  0  /\  4  =  0 )
17 gcdn0cl 11578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 6  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  /\  -.  ( 6  =  0  /\  4  =  0 ) )  ->  ( 6  gcd  4 )  e.  NN )
1813, 16, 17mp2an 422 . . . . . 6  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  NN
1918nnne0i 8720 . . . . 5  |-  ( 6  gcd  4 )  =/=  0
2018nnzi 9043 . . . . . 6  |-  ( 6  gcd  4 )  e.  ZZ
21 0z 9033 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
22 zapne 9093 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  gcd  4
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( 6  gcd  4 ) #  0  <->  (
6  gcd  4 )  =/=  0 ) )
2320, 21, 22mp2an 422 . . . . 5  |-  ( ( 6  gcd  4 ) #  0  <->  ( 6  gcd  4 )  =/=  0
)
2419, 23mpbir 145 . . . 4  |-  ( 6  gcd  4 ) #  0
2512, 24pm3.2i 270 . . 3  |-  ( ( 6  gcd  4 )  e.  CC  /\  (
6  gcd  4 ) #  0 )
26 6nn 8853 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN
27 4nn 8851 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
2826, 27pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( 6  e.  NN  /\  4  e.  NN )
29 lcmgcdnn 11690 . . . . . . 7  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( 6  x.  4 ) )
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( 6 lcm  4 )  x.  (
6  gcd  4 ) )  =  ( 6  x.  4 ) )
3130eqcomd 2123 . . . . 5  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( 6  x.  4 )  =  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4 ) ) )
32 divmulap3 8405 . . . . 5  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( 6 lcm  4 )  <-> 
( 6  x.  4 )  =  ( ( 6 lcm  4 )  x.  ( 6  gcd  4
) ) ) )
3331, 32mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( ( 6  x.  4 )  / 
( 6  gcd  4
) )  =  ( 6 lcm  4 ) )
3433eqcomd 2123 . . 3  |-  ( ( ( 6  x.  4 )  e.  CC  /\  ( 6 lcm  4 )  e.  CC  /\  (
( 6  gcd  4
)  e.  CC  /\  ( 6  gcd  4
) #  0 ) )  ->  ( 6 lcm  4 )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) ) )
353, 9, 25, 34mp3an 1300 . 2  |-  ( 6 lcm  4 )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )
36 6gcd4e2 11610 . . 3  |-  ( 6  gcd  4 )  =  2
3736oveq2i 5753 . 2  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  ( 6  gcd  4 ) )  =  ( ( 6  x.  4 )  /  2
)
38 2cn 8759 . . . 4  |-  2  e.  CC
39 2ap0 8781 . . . 4  |-  2 #  0
401, 2, 38, 39divassapi 8496 . . 3  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  2 )  =  ( 6  x.  (
4  /  2 ) )
41 4d2e2 8848 . . . 4  |-  ( 4  /  2 )  =  2
4241oveq2i 5753 . . 3  |-  ( 6  x.  ( 4  / 
2 ) )  =  ( 6  x.  2 )
43 6t2e12 9253 . . 3  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
4440, 42, 433eqtri 2142 . 2  |-  ( ( 6  x.  4 )  /  2 )  = ; 1
2
4535, 37, 443eqtri 2142 1  |-  ( 6 lcm  4 )  = ; 1 2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    x. cmul 7593   # cap 8311    / cdiv 8400   NNcn 8688   2c2 8739   4c4 8741   6c6 8743   ZZcz 9022  ;cdc 9150    gcd cgcd 11562   lcm clcm 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-z 9023  df-dec 9151  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563  df-lcm 11669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator