Theorem abrexexg 5776

Description: Existence of a class abstraction of existentially restricted sets. x is normally a free-variable parameter in B. The antecedent assures us that A is a set. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
abrexexg	|- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x, y)

Proof of Theorem abrexexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2082	. . 3 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
2	1	rnmpt 4610	. 2 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
3		mptexg 5418	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
4		rnexg 4625	. . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) e. _V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( A e. V -> ran ( x e. A |-> B ) e. _V )
6	2, 5	syl5eqelr 2167	1 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   {cab 2068   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   |-> cmpt 3847   ran crn 4372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940

This theorem is referenced by:  iunexg  5777  qsexg  6228  shftfvalg  9844