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Theorem abs00ap 10086
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )

Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 10081 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) )
21breq1d 3803 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( sqr `  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) #  0 ) )
3 sqrt0 10028 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  0 )  =  0
43breq2i 3801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( ( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) ) #  ( sqr `  0
)  <->  ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  0 )
52, 4syl6bbr 196 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( sqr `  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  0 ) ) )
6 recl 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
76resqcld 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
8 imcl 9879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
98resqcld 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
) ^ 2 )  e.  RR )
107, 9readdcld 7210 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR )
116sqge0d 9729 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( Re `  A ) ^ 2 ) )
128sqge0d 9729 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )
137, 9, 11, 12addge0d 7689 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) )
14 0red 7182 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  RR )
1514leidd 7682 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  0 )
16 sqrt11ap 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  <_ 
0 ) )  -> 
( ( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  0
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  0 ) )
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1171 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) ) #  ( sqr `  0
)  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  0 ) )
185, 17bitrd 186 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) #  0 ) )
19 00id 7316 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2019breq2i 3801 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( 0  +  0 )  <->  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  0 )
2118, 20syl6bbr 196 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  ( (
( Re `  A
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  A ) ^
2 ) ) #  ( 0  +  0 ) ) )
227recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
239recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
24 0cnd 7174 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  CC )
25 addext 7777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( Im `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  /\  ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) #  ( 0  +  0 )  -> 
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  0  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  0 ) ) )
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1171 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) ) #  ( 0  +  0 )  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  0  \/  (
( Im `  A
) ^ 2 ) #  0 ) ) )
2721, 26sylbid 148 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  0  \/  (
( Im `  A
) ^ 2 ) #  0 ) ) )
286recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
29 2nn 8260 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
30 expap0 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  0  <->  (
Re `  A ) #  0 ) )
3128, 29, 30sylancl 404 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A ) ^ 2 ) #  0  <->  ( Re `  A ) #  0 ) )
328recnd 7209 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
33 expap0 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( ( Im
`  A ) ^
2 ) #  0  <->  (
Im `  A ) #  0 ) )
3432, 29, 33sylancl 404 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  0  <->  ( Im `  A ) #  0 ) )
3531, 34orbi12d 740 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A ) ^
2 ) #  0  \/  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) #  0 )  <->  ( (
Re `  A ) #  0  \/  ( Im `  A ) #  0 ) ) )
3627, 35sylibd 147 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  (
( Re `  A
) #  0  \/  (
Im `  A ) #  0 ) ) )
37 crap0 8102 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( Re
`  A ) #  0  \/  ( Im `  A ) #  0 )  <-> 
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) #  0 ) )
386, 8, 37syl2anc 403 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A ) #  0  \/  ( Im `  A ) #  0 )  <->  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  0 ) )
3936, 38sylibd 147 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) #  0 ) )
40 replim 9884 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
4140breq1d 3803 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  <->  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) #  0 ) )
4239, 41sylibrd 167 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  ->  A #  0 ) )
43 absrpclap 10085 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
4443rpap0d 8860 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( abs `  A ) #  0 )
4544ex 113 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  ->  ( abs `  A ) #  0 ) )
4642, 45impbid 127 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   _ici 7045    + caddc 7046    x. cmul 7048    <_ cle 7216   # cap 7748   NNcn 8106   2c2 8156   ^cexp 9572   Recre 9865   Imcim 9866   sqrcsqrt 10020   abscabs 10021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869  df-rsqrt 10022  df-abs 10023
This theorem is referenced by:  abs00  10088  absexpzap  10104  ltabs  10111  recvalap  10121  absgt0ap  10123
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