ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absdivap Unicode version

Theorem absdivap 10141
Description: Absolute value distributes over division. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
absdivap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  B ) ) )

Proof of Theorem absdivap
StepHypRef Expression
1 divclap 7869 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
2 abscl 10122 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
43recnd 7245 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
5 absrpclap 10132 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
653adant1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR+ )
76rpcnd 8892 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
86rpap0d 8896 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  B ) #  0 )
94, 7, 8divcanap4d 7986 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( ( abs `  ( A  /  B ) )  x.  ( abs `  B
) )  /  ( abs `  B ) )  =  ( abs `  ( A  /  B ) ) )
10 simp2 940 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  B  e.  CC )
11 absmul 10140 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( A  /  B
)  x.  B ) )  =  ( ( abs `  ( A  /  B ) )  x.  ( abs `  B
) ) )
121, 10, 11syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  ( ( A  /  B )  x.  B ) )  =  ( ( abs `  ( A  /  B ) )  x.  ( abs `  B
) ) )
13 divcanap1 7872 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
1413fveq2d 5234 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  ( ( A  /  B )  x.  B ) )  =  ( abs `  A
) )
1512, 14eqtr3d 2117 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( abs `  ( A  /  B ) )  x.  ( abs `  B
) )  =  ( abs `  A ) )
1615oveq1d 5579 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( ( abs `  ( A  /  B ) )  x.  ( abs `  B
) )  /  ( abs `  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  B ) ) )
179, 16eqtr3d 2117 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( abs `  ( A  /  B ) )  =  ( ( abs `  A
)  /  ( abs `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3806   ` cfv 4953  (class class class)co 5564   CCcc 7077   RRcr 7078   0cc0 7079    x. cmul 7084   # cap 7784    / cdiv 7863   RR+crp 8851   abscabs 10068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-rp 8852  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070
This theorem is referenced by:  absexpzap  10151  absdivapzi  10225  absdivapd  10266
  Copyright terms: Public domain W3C validator