Theorem absimle 10849

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	|- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 7956	. . . . 5 |- -u _i e. CC
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u _i e. CC )
3		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 7779	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		absrele 10848	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
7		imre 10616	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
8	7	fveq2d 5418	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) )
9		absmul 10834	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
10	1, 9	mpan 420	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
11		ax-icn 7708	. . . . . . 7 |- _i e. CC
12		absneg 10815	. . . . . . 7 |- ( _i e. CC -> ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i )
14		absi 10824	. . . . . 6 |- ( abs ` _i ) = 1
15	13, 14	eqtri 2158	. . . . 5 |- ( abs ` -u _i ) = 1
16	15	oveq1i 5777	. . . 4 |- ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
17		abscl 10816	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
18	17	recnd 7787	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
19	18	mulid2d 7777	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
20	16, 19	syl5eq 2182	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
21	10, 20	eqtr2d 2171	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
22	6, 8, 21	3brtr4d 3955	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614   _ici 7615   x. cmul 7618   <_ cle 7794   -ucneg 7927   Recre 10605   Imcim 10606   abscabs 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764

This theorem is referenced by:  imcn2  11080  climcvg1nlem  11111  sin01bnd  11453