Theorem absreim 10180

Description: Absolute value of a number that has been decomposed into real and imaginary parts. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
absreim	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )

Proof of Theorem absreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7245	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		ax-icn 7210	. . . . . 6 |- _i e. CC
3		recn 7245	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
4		mulcl 7239	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancr 405	. . . . 5 |- ( B e. RR -> ( _i x. B ) e. CC )
6		addcl 7237	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( _i x. B ) e. CC ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
7	1, 5, 6	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
8		abscl 10163	. . . 4 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. CC -> ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) e. RR )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) e. RR )
10		absge0 10172	. . . 4 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) )
11	7, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) )
12		sqrtsq 10156	. . 3 |- ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) )
13	9, 11, 12	syl2anc 403	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( sqr ` ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) )
14		absreimsq 10179	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
15	14	fveq2d 5235	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( sqr ` ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
16	13, 15	eqtr3d 2117	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = ( sqr ` ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3806   ` cfv 4953  (class class class)co 5565   CCcc 7118   RRcr 7119   0cc0 7120   _ici 7122   + caddc 7123   x. cmul 7125   <_ cle 7293   2c2 8233   ^cexp 9649   sqrcsqrt 10108   abscabs 10109

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233  ax-arch 7234  ax-caucvg 7235

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-frec 6062  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-3 8243  df-4 8244  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-rp 8893  df-iseq 9599  df-iexp 9650  df-cj 9955  df-re 9956  df-im 9957  df-rsqrt 10110  df-abs 10111

This theorem is referenced by: (None)