Theorem abstri 10191

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8228	. . . . . 6 |- 2 e. RR
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR )
3		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	cjcld 10028	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
6	3, 5	mulcld 7253	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( * ` B ) ) e. CC )
7	6	recld 10026	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) e. RR )
8	2, 7	remulcld 7263	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) e. RR )
9		abscl 10138	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11		abscl 10138	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
13	10, 12	remulcld 7263	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) e. RR )
14	2, 13	remulcld 7263	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. RR )
15	10	resqcld 9780	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. RR )
16	12	resqcld 9780	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. RR )
17	15, 16	readdcld 7262	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
18		releabs 10183	. . . . . . 7 |- ( ( A x. ( * ` B ) ) e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
20		absmul 10156	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
21	3, 5, 20	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
22		abscj 10139	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
24	23	oveq2d 5579	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
25	21, 24	eqtrd 2115	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
26	19, 25	breqtrd 3829	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
27		2rp 8872	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR+ )
29	7, 13, 28	lemul2d 8951	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <-> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
30	26, 29	mpbid 145	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) )
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 7779	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
32		sqabsadd 10142	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) )
33	10	recnd 7261	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. CC )
34	12	recnd 7261	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. CC )
35		binom2 9734	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` B ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
37	15	recnd 7261	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
38	14	recnd 7261	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. CC )
39	16	recnd 7261	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. CC )
40	37, 38, 39	add32d 7395	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
41	36, 40	eqtrd 2115	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
42	31, 32, 41	3brtr4d 3835	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) )
43		addcl 7212	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
44		abscl 10138	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
46	10, 12	readdcld 7262	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) e. RR )
47		absge0 10147	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
49		absge0 10147	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
50	3, 49	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
51		absge0 10147	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
52	4, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
53	10, 12, 50, 52	addge0d 7741	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 9786	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) ) )
55	42, 54	mpbird 165	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   RRcr 7094   0cc0 7095   + caddc 7098   x. cmul 7100   <_ cle 7268   2c2 8208   RR+crp 8867   ^cexp 9624   *ccj 9927   Recre 9928   abscabs 10084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086

This theorem is referenced by:  abs3dif  10192  abs2dif2  10194  abstrii  10242  abstrid  10283