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Theorem acexmidlemab 5534
Description: Lemma for acexmid 5539. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
acexmidlem.b  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
acexmidlem.c  |-  C  =  { A ,  B }
Assertion
Ref Expression
acexmidlemab  |-  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} )  ->  -.  ph )
Distinct variable groups:    x, y, v, u, A    x, B, y, v, u    x, C, y, v, u    ph, x, y, v, u

Proof of Theorem acexmidlemab
StepHypRef Expression
1 noel 3256 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  (/)
2 0ex 3912 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
32snid 3430 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
}
4 eleq2 2117 . . . . 5  |-  ( (/)  =  { (/) }  ->  ( (/) 
e.  (/)  <->  (/)  e.  { (/) } ) )
53, 4mpbiri 161 . . . 4  |-  ( (/)  =  { (/) }  ->  (/)  e.  (/) )
61, 5mto 598 . . 3  |-  -.  (/)  =  { (/)
}
7 acexmidlem.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
8 acexmidlem.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
9 acexmidlem.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  { A ,  B }
107, 8, 9acexmidlemph 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  B )
11 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  A  =  B )
12 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  u  <->  B  e.  u ) )
1312anbi1d 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
1413rexbidv 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1511, 14riotaeqbidv 5499 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
1610, 15syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1716eqeq1d 2064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/) 
<->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/) ) )
1817biimpa 284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/) )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/) )
1918adantrr 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  (/) )
20 simprr 492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } )
2119, 20eqtr3d 2090 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  ->  (/)  =  { (/)
} )
2221ex 112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } )  ->  (/)  =  { (/) } ) )
236, 22mtoi 600 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
2423con2i 567 1  |-  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} )  ->  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   {crab 2327   (/)c0 3252   {csn 3403   {cpr 3404   iota_crio 5495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-nul 3911
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-nul 3253  df-sn 3409  df-uni 3609  df-iota 4895  df-riota 5496
This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5536
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