Theorem acexmidlemab 5761

Description: Lemma for acexmid 5766. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
acexmidlem.a	|- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
acexmidlem.b	|- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
acexmidlem.c	|- C = { A , B }

Assertion

Ref	Expression
acexmidlemab	|- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )

Distinct variable groups:   x, y, v, u, A   x, B, y, v, u   x, C, y, v, u   ph, x, y, v, u

Proof of Theorem acexmidlemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3362	. . . 4 |- -. (/) e. (/)
2		0ex 4050	. . . . . 6 |- (/) e. _V
3	2	snid 3551	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
4		eleq2 2201	. . . . 5 |- ( (/) = { (/) } -> ( (/) e. (/) <-> (/) e. { (/) } ) )
5	3, 4	mpbiri 167	. . . 4 |- ( (/) = { (/) } -> (/) e. (/) )
6	1, 5	mto 651	. . 3 |- -. (/) = { (/) }
7		acexmidlem.a	. . . . . . . . . 10 |- A = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = (/) \/ ph ) }
8		acexmidlem.b	. . . . . . . . . 10 |- B = { x e. { (/) , { (/) } } | ( x = { (/) } \/ ph ) }
9		acexmidlem.c	. . . . . . . . . 10 |- C = { A , B }
10	7, 8, 9	acexmidlemph 5760	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = B )
11		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> A = B )
12		eleq1 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B -> ( A e. u <-> B e. u ) )
13	12	anbi1d 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = B -> ( ( A e. u /\ v e. u ) <-> ( B e. u /\ v e. u ) ) )
14	13	rexbidv 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
15	11, 14	riotaeqbidv 5726	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
16	10, 15	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) )
17	16	eqeq1d 2146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) <-> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) ) )
18	17	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) )
19	18	adantrr 470	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = (/) )
20		simprr 521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } )
21	19, 20	eqtr3d 2172	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) ) -> (/) = { (/) } )
22	21	ex 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> (/) = { (/) } ) )
23	6, 22	mtoi 653	. 2 |- ( ph -> -. ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) )
24	23	con2i 616	1 |- ( ( ( iota_ v e. A E. u e. y ( A e. u /\ v e. u ) ) = (/) /\ ( iota_ v e. B E. u e. y ( B e. u /\ v e. u ) ) = { (/) } ) -> -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   {crab 2418   (/)c0 3358   {csn 3522   {cpr 3523   iota_crio 5722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-nul 3359  df-sn 3528  df-uni 3732  df-iota 5083  df-riota 5723

This theorem is referenced by:  acexmidlem1  5763