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Theorem acexmidlemcase 5737
Description: Lemma for acexmid 5741. Here we divide the proof into cases (based on the disjunction implicit in an unordered pair, not the sort of case elimination which relies on excluded middle).

The cases are (1) the choice function evaluated at  A equals  { (/) }, (2) the choice function evaluated at  B equals  (/), and (3) the choice function evaluated at  A equals 
(/) and the choice function evaluated at  B equals  { (/) }.

Because of the way we represent the choice function  y, the choice function evaluated at  A is  ( iota_ v  e.  A E. u  e.  y ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) ) and the choice function evaluated at  B is  ( iota_ v  e.  B E. u  e.  y ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ). Other than the difference in notation these work just as  ( y `  A ) and  ( y `  B ) would if  y were a function as defined by df-fun 5095.

Although it isn't exactly about the division into cases, it is also convenient for this lemma to also include the step that if the choice function evaluated at  A equals  { (/) }, then  { (/) }  e.  A and likewise for  B.

(Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
acexmidlem.a  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
acexmidlem.b  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
acexmidlem.c  |-  C  =  { A ,  B }
Assertion
Ref Expression
acexmidlemcase  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, v, u, A    x, B, y, z, v, u   
x, C, y, z, v, u    ph, x, y, z, v, u

Proof of Theorem acexmidlemcase
StepHypRef Expression
1 acexmidlem.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
2 onsucelsucexmidlem 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
31, 2eqeltri 2190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e.  On
4 prid1g 3597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  { A ,  B } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
{ A ,  B }
6 acexmidlem.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  { A ,  B }
75, 6eleqtrri 2193 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e.  C
8 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  A  ->  (
z  e.  u  <->  A  e.  u ) )
98anbi1d 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
109rexbidv 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  A  ->  ( E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1110reueqd 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E! v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1211rspcv 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  C  ->  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  ->  E! v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
137, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  E! v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )
14 riotacl 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  A
)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  A
)
16 elrabi 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  ->  (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
1716, 1eleq2s 2212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  A  ->  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
18 elpri 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
1915, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
20 eleq1 2180 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
}  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u )
)  e.  A  <->  { (/) }  e.  A ) )
2115, 20syl5ibcom 154 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) }  ->  { (/) }  e.  A ) )
2221orim2d 762 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } )  -> 
( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A ) ) )
2319, 22mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A ) )
24 acexmidlem.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { x  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }
25 pp0ex 4083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
2625rabex 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( x  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
2724, 26eqeltri 2190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
_V
2827prid2 3600 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
{ A ,  B }
2928, 6eleqtrri 2193 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e.  C
30 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  u  <->  B  e.  u ) )
3130anbi1d 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3231rexbidv 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  B  ->  ( E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3332reueqd 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  B  ->  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E! v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
3433rspcv 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  ->  E! v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
3529, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  E! v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )
36 riotacl 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  B
)
3735, 36syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  B
)
38 elrabi 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  {
x  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( x  =  { (/)
}  \/  ph ) }  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  e. 
{ (/) ,  { (/) } } )
3938, 24eleq2s 2212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  B  ->  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }
)
40 elpri 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  e.  { (/)
,  { (/) } }  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
4137, 39, 403syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )
42 eleq1 2180 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  e.  B  <->  (/)  e.  B ) )
4337, 42syl5ibcom 154 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  ->  (/)  e.  B ) )
4443orim1d 761 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } )  -> 
( (/)  e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} ) ) )
4541, 44mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( (/)  e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} ) )
4623, 45jca 304 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A )  /\  ( (/) 
e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) )
47 anddi 795 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  \/  { (/) }  e.  A )  /\  ( (/) 
e.  B  \/  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  <->  ( (
( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  ( ( {
(/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) ) )
4846, 47sylib 121 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  ( ( {
(/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) ) )
49 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  ->  { (/) }  e.  A )
50 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y 
( B  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  { (/)
} )  ->  { (/) }  e.  A )
5149, 50jaoi 690 . . . . . 6  |-  ( ( ( { (/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) )  ->  { (/) }  e.  A )
5251orim2i 735 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  ( ( {
(/) }  e.  A  /\  (/)  e.  B )  \/  ( { (/) }  e.  A  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u )
)  =  { (/) } ) ) )  -> 
( ( ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  { (/) }  e.  A ) )
5348, 52syl 14 . . . 4  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ( ( (
iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  \/  { (/) }  e.  A ) )
5453orcomd 703 . . 3  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  ( (
( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
55 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y 
( A  e.  u  /\  v  e.  u
) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  ->  (/) 
e.  B )
5655orim1i 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )
5756orim2i 735 . . 3  |-  ( ( { (/) }  e.  A  \/  ( ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  (/)  e.  B )  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )  ->  ( { (/)
}  e.  A  \/  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
5854, 57syl 14 . 2  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
59 3orass 950 . 2  |-  ( ( { (/) }  e.  A  \/  (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) )  <-> 
( { (/) }  e.  A  \/  ( (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) ) )
6058, 59sylibr 133 1  |-  ( A. z  e.  C  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( { (/) }  e.  A  \/  (/)  e.  B  \/  ( ( iota_ v  e.  A  E. u  e.  y  ( A  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  (/)  /\  ( iota_ v  e.  B  E. u  e.  y  ( B  e.  u  /\  v  e.  u ) )  =  { (/) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682    \/ w3o 946    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   E!wreu 2395   {crab 2397   _Vcvv 2660   (/)c0 3333   {csn 3497   {cpr 3498   Oncon0 4255   iota_crio 5697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-tr 3997  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iota 5058  df-riota 5698
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