ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  acexmidlemv Unicode version

Theorem acexmidlemv 5562
Description: Lemma for acexmid 5563.

This is acexmid 5563 with additional distinct variable constraints, most notably between  ph and  x.

(Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
acexmidlemv.choice  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
Assertion
Ref Expression
acexmidlemv  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem acexmidlemv
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucelsucexmidlem 4300 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On
2 pp0ex 3980 . . . . 5  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  _V
32rabex 3942 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  e.  _V
4 prexg 3994 . . . 4  |-  ( ( { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  e.  On  /\  {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  { (/)
}  \/  ph ) }  e.  _V )  ->  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V )
51, 3, 4mp2an 417 . . 3  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  e.  _V
6 raleq 2554 . . . 4  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
76exbidv 1748 . . 3  |-  ( x  =  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  ->  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E. y A. z  e.  { { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
) )
8 acexmidlemv.choice . . 3  |-  E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)
95, 7, 8vtocl 2662 . 2  |-  E. y A. z  e.  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )
10 eqeq1 2089 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  (/)  <->  t  =  (/) ) )
1110orbi1d 738 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( t  =  (/)  \/  ph )
) )
1211cbvrabv 2609 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) }  =  {
t  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( t  =  (/)  \/ 
ph ) }
13 eqeq1 2089 . . . . . 6  |-  ( s  =  t  ->  (
s  =  { (/) }  <-> 
t  =  { (/) } ) )
1413orbi1d 738 . . . . 5  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  =  { (/)
}  \/  ph )  <->  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) ) )
1514cbvrabv 2609 . . . 4  |-  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) }  =  { t  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( t  =  { (/) }  \/  ph ) }
16 eqid 2083 . . . 4  |-  { {
s  e.  { (/) ,  { (/) } }  | 
( s  =  (/)  \/ 
ph ) } ,  { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }  =  { { s  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } }
1712, 15, 16acexmidlem2 5561 . . 3  |-  ( A. z  e.  { { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
1817exlimiv 1530 . 2  |-  ( E. y A. z  e. 
{ { s  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  (/)  \/  ph ) } ,  { s  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ( s  =  { (/) }  \/  ph ) } } A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  ->  ( ph  \/  -.  ph ) )
199, 18ax-mp 7 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   E!wreu 2355   {crab 2357   _Vcvv 2610   (/)c0 3267   {csn 3416   {cpr 3417   Oncon0 4146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-uni 3622  df-tr 3896  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iota 4917  df-riota 5520
This theorem is referenced by:  acexmid  5563
  Copyright terms: Public domain W3C validator