ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnqg Unicode version

Theorem addassnqg 6634
Description: Addition of positive fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  (
( A  +Q  B
)  +Q  C )  =  ( A  +Q  ( B  +Q  C
) ) )

Proof of Theorem addassnqg
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6600 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 6622 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
3 addpipqqs 6622 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )
4 addpipqqs 6622 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .N  w )  +N  ( y  .N  z
) )  e.  N.  /\  ( y  .N  w
)  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  +Q  [ <. v ,  u >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( ( ( x  .N  w )  +N  ( y  .N  z
) )  .N  u
)  +N  ( ( y  .N  w )  .N  v ) ) ,  ( ( y  .N  w )  .N  u ) >. ]  ~Q  )
5 addpipqqs 6622 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) )  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  +Q  [ <. ( ( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) ,  ( w  .N  u ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( x  .N  (
w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v
) ) ) ) ,  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) >. ]  ~Q  )
6 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
76ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  w )  e.  N. )
8 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  e.  N. )
98ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  z )  e.  N. )
10 addclpi 6579 . . . 4  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) )  e.  N. )
117, 9, 10syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  e. 
N. )
12 mulclpi 6580 . . . 4  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
1312ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  w )  e.  N. )
1411, 13jca 300 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) )  e.  N.  /\  (
y  .N  w )  e.  N. ) )
15 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  u
)  e.  N. )
1615ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
17 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( w  .N  v
)  e.  N. )
1817ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
19 addclpi 6579 . . . 4  |-  ( ( ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
2016, 18, 19syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) )  e. 
N. )
21 mulclpi 6580 . . . 4  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
2221ad2ant2l 492 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
2320, 22jca 300 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) )  e.  N.  /\  (
w  .N  u )  e.  N. ) )
24 simp1l 963 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
25 simp2r 966 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
26 simp3r 968 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
2725, 26, 21syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
28 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( x  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N. )
2924, 27, 28syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  ( w  .N  u
) )  e.  N. )
30 simp1r 964 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
31 simp2l 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
3231, 26, 15syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  u )  e.  N. )
33 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
z  .N  u ) )  e.  N. )
3430, 32, 33syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( z  .N  u
) )  e.  N. )
35 simp3l 967 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
3625, 35, 17syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  v )  e.  N. )
37 mulclpi 6580 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )
3830, 36, 37syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( w  .N  v
) )  e.  N. )
39 addasspig 6582 . . . 4  |-  ( ( ( x  .N  (
w  .N  u ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
z  .N  u ) )  e.  N.  /\  ( y  .N  (
w  .N  v ) )  e.  N. )  ->  ( ( ( x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  (
z  .N  u ) ) )  +N  (
y  .N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( ( y  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  (
w  .N  v ) ) ) ) )
4029, 34, 38, 39syl3anc 1170 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .N  (
w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( z  .N  u ) ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v
) ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  (
z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
41 mulcompig 6583 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
4241adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
43 distrpig 6585 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  N.  /\  f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  (
h  .N  ( f  +N  g ) )  =  ( ( h  .N  f )  +N  ( h  .N  g
) ) )
44433coml 1146 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  ( f  +N  g ) )  =  ( ( h  .N  f )  +N  ( h  .N  g
) ) )
45 addclpi 6579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  +N  g
)  e.  N. )
46 mulcompig 6583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  N.  /\  ( f  +N  g
)  e.  N. )  ->  ( h  .N  (
f  +N  g ) )  =  ( ( f  +N  g )  .N  h ) )
4745, 46sylan2 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  e.  N.  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )
)  ->  ( h  .N  ( f  +N  g
) )  =  ( ( f  +N  g
)  .N  h ) )
4847ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  /\  h  e.  N. )  ->  ( h  .N  ( f  +N  g
) )  =  ( ( f  +N  g
)  .N  h ) )
49483impa 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  ( f  +N  g ) )  =  ( ( f  +N  g )  .N  h ) )
50 mulcompig 6583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  ( h  .N  f
)  =  ( f  .N  h ) )
5150ancoms 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  ( h  .N  f
)  =  ( f  .N  h ) )
52513adant2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  f )  =  ( f  .N  h ) )
53 mulcompig 6583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( h  .N  g
)  =  ( g  .N  h ) )
5453ancoms 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  ( h  .N  g
)  =  ( g  .N  h ) )
55543adant1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
h  .N  g )  =  ( g  .N  h ) )
5652, 55oveq12d 5561 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( h  .N  f
)  +N  ( h  .N  g ) )  =  ( ( f  .N  h )  +N  ( g  .N  h
) ) )
5744, 49, 563eqtr3d 2122 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  +N  g
)  .N  h )  =  ( ( f  .N  h )  +N  ( g  .N  h
) ) )
5857adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  +N  g
)  .N  h )  =  ( ( f  .N  h )  +N  ( g  .N  h
) ) )
59 mulasspig 6584 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6059adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
61 mulclpi 6580 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
6261adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
6342, 58, 60, 62, 24, 30, 25, 31, 26caovdilemd 5723 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) )  .N  u )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
y  .N  ( z  .N  u ) ) ) )
64 mulasspig 6584 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  (
( y  .N  w
)  .N  v )  =  ( y  .N  ( w  .N  v
) ) )
65643adant1l 1162 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  v
)  =  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) )
66653adant2l 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  v )  =  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) )
67663adant3r 1167 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  w )  .N  v )  =  ( y  .N  (
w  .N  v ) ) )
6863, 67oveq12d 5561 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) )  .N  u )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  v ) )  =  ( ( ( x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  (
z  .N  u ) ) )  +N  (
y  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
69 distrpig 6585 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( z  .N  u
)  e.  N.  /\  ( w  .N  v
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
( z  .N  u
)  +N  ( w  .N  v ) ) )  =  ( ( y  .N  ( z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v
) ) ) )
7030, 32, 36, 69syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) )  =  ( ( y  .N  (
z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) ) )
7170oveq2d 5559 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  ( w  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  (
w  .N  v ) ) ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
( y  .N  (
z  .N  u ) )  +N  ( y  .N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
7240, 68, 713eqtr4d 2124 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( x  .N  w )  +N  (
y  .N  z ) )  .N  u )  +N  ( ( y  .N  w )  .N  v ) )  =  ( ( x  .N  ( w  .N  u
) )  +N  (
y  .N  ( ( z  .N  u )  +N  ( w  .N  v ) ) ) ) )
73 mulasspig 6584 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  (
( y  .N  w
)  .N  u )  =  ( y  .N  ( w  .N  u
) ) )
74733adant1l 1162 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  u
)  =  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
75743adant2l 1164 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  w )  .N  u )  =  ( y  .N  ( w  .N  u ) ) )
76753adant3l 1166 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  w )  .N  u )  =  ( y  .N  (
w  .N  u ) ) )
771, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 72, 76ecoviass 6282 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  (
( A  +Q  B
)  +Q  C )  =  ( A  +Q  ( B  +Q  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434  (class class class)co 5543   N.cnpi 6524    +N cpli 6525    .N cmi 6526    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532    +Q cplq 6534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-plpq 6596  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601
This theorem is referenced by:  ltaddnq  6659  addlocprlemeqgt  6784  addassprg  6831  ltexprlemloc  6859  ltexprlemrl  6862  ltexprlemru  6864  addcanprleml  6866  addcanprlemu  6867  cauappcvgprlemdisj  6903  cauappcvgprlemloc  6904  cauappcvgprlemladdfl  6907  cauappcvgprlemladdru  6908  cauappcvgprlemladdrl  6909  cauappcvgprlem1  6911  caucvgprlemloc  6927  caucvgprlemladdrl  6930  caucvgprprlemloccalc  6936
  Copyright terms: Public domain W3C validator