Theorem addclpi 7128

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 7117	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
2		pinn 7110	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
3		pinn 7110	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
4		nnacl 6369	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
5	3, 4	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. om )
6		elni2 7115	. . . . 5 |- ( B e. N. <-> ( B e. om /\ (/) e. B ) )
7		nnaordi 6397	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) )
8		ne0i 3364	. . . . . . . 8 |- ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
9	7, 8	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( B e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) )
10	9	expcom 115	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) )
11	10	imp32 255	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ (/) e. B ) ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
12	6, 11	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) =/= (/) )
13		elni 7109	. . . 4 |- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. om /\ ( A +o B ) =/= (/) ) )
14	5, 12, 13	sylanbrc 413	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
15	2, 14	sylan 281	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. )
16	1, 15	eqeltrd 2214	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   =/= wne 2306   (/)c0 3358   omcom 4499  (class class class)co 5767   +o coa 6303   N.cnpi 7073   +N cpli 7074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-ni 7105  df-pli 7106

This theorem is referenced by:  addasspig  7131  distrpig  7134  ltapig  7139  1lt2pi  7141  indpi  7143  addcmpblnq  7168  addpipqqslem  7170  addclnq  7176  addassnqg  7183  distrnqg  7188  ltanqg  7201  1lt2nq  7207  ltexnqq  7209  archnqq  7218  prarloclemarch2  7220  nqnq0a  7255  nntopi  7695