ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomnqg Unicode version

Theorem addcomnqg 6537
Description: Addition of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcomnqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( B  +Q  A ) )

Proof of Theorem addcomnqg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 addpipqqs 6526 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( x  .N  w
)  +N  ( y  .N  z ) ) ,  ( y  .N  w ) >. ]  ~Q  )
3 addpipqqs 6526 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( z  .N  y
)  +N  ( w  .N  x ) ) ,  ( w  .N  y ) >. ]  ~Q  )
4 mulcompig 6487 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  =  ( w  .N  x ) )
5 mulcompig 6487 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  =  ( z  .N  y ) )
64, 5oveqan12d 5559 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( w  .N  x )  +N  (
z  .N  y ) ) )
76an42s 531 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( w  .N  x )  +N  (
z  .N  y ) ) )
8 mulclpi 6484 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( w  .N  x
)  e.  N. )
98ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( w  .N  x
)  e.  N. )
109ad2ant2rl 488 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  x )  e.  N. )
11 mulclpi 6484 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( z  .N  y
)  e.  N. )
1211ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( z  .N  y
)  e.  N. )
1312ad2ant2lr 487 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  y )  e.  N. )
14 addcompig 6485 . . . 4  |-  ( ( ( w  .N  x
)  e.  N.  /\  ( z  .N  y
)  e.  N. )  ->  ( ( w  .N  x )  +N  (
z  .N  y ) )  =  ( ( z  .N  y )  +N  ( w  .N  x ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  x )  +N  ( z  .N  y ) )  =  ( ( z  .N  y )  +N  (
w  .N  x ) ) )
167, 15eqtrd 2088 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w )  +N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( z  .N  y )  +N  (
w  .N  x ) ) )
17 mulcompig 6487 . . 3  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( w  .N  y ) )
1817ad2ant2l 485 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  w )  =  ( w  .N  y ) )
191, 2, 3, 16, 18ecovicom 6245 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  B
)  =  ( B  +Q  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409  (class class class)co 5540   N.cnpi 6428    +N cpli 6429    .N cmi 6430    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-plpq 6500  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505
This theorem is referenced by:  lt2addnq  6560  ltaddnq  6563  prarloclemarch2  6575  addlocprlemeqgt  6688  addlocprlemgt  6690  addclpr  6693  prmuloclemcalc  6721  addcomprg  6734  distrlem4prl  6740  distrlem4pru  6741  ltexprlemm  6756  ltexprlemdisj  6762  ltexprlemloc  6763  ltexprlemfl  6765  ltexprlemrl  6766  ltexprlemfu  6767  ltexprlemru  6768  addcanprleml  6770  addcanprlemu  6771  prplnqu  6776  aptiprleml  6795  aptiprlemu  6796  cauappcvgprlemopl  6802  cauappcvgprlemlol  6803  cauappcvgprlemdisj  6807  cauappcvgprlemloc  6808  cauappcvgprlemladdfu  6810  cauappcvgprlemladdfl  6811  cauappcvgprlemladdru  6812  cauappcvgprlemladdrl  6813  cauappcvgprlem1  6815  caucvgprlemnkj  6822  caucvgprlemnbj  6823  caucvgprlemopl  6825  caucvgprlemlol  6826  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlemladdfu  6833  caucvgprlemladdrl  6834  caucvgprprlemopl  6853  caucvgprprlemlol  6854
  Copyright terms: Public domain W3C validator