Theorem addge01 7632

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge01	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Proof of Theorem addge01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7170	. . . 4 |- 0 e. RR
2		leadd2 7591	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1256	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
4	3	ancoms 264	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> ( A + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
5		recn 7157	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6	5	addid1d 7313	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A + 0 ) = A )
7	6	adantr 270	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + 0 ) = A )
8	7	breq1d 3797	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + 0 ) <_ ( A + B ) <-> A <_ ( A + B ) ) )
9	4, 8	bitrd 186	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   RRcr 7031   0cc0 7032   + caddc 7035   <_ cle 7205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-i2m1 7132  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-pre-ltadd 7143

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-cnv 4373  df-iota 4891  df-fv 4934  df-ov 5540  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210

This theorem is referenced by:  addge02  7633  subge02  7638  addge01d  7689  nn0addge1  8390  elfzmlbp  9209  flqbi2  9362