ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addge02 Unicode version

Theorem addge02 7721
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
addge02  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( B  +  A ) ) )

Proof of Theorem addge02
StepHypRef Expression
1 addge01 7720 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( A  +  B ) ) )
2 recn 7245 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 recn 7245 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
4 addcom 7389 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
52, 3, 4syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
65breq2d 3818 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( A  +  B )  <->  A  <_  ( B  +  A ) ) )
71, 6bitrd 186 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  A  <_  ( B  +  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565   CCcc 7118   RRcr 7119   0cc0 7120    + caddc 7123    <_ cle 7293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-pre-ltadd 7231
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-cnv 4400  df-iota 4918  df-fv 4961  df-ov 5568  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298
This theorem is referenced by:  add20  7722  addge02d  7778  nn0addge2  8479  difelfznle  9300  subfzo0  9405
  Copyright terms: Public domain W3C validator