Theorem addge02 8235

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge02	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Proof of Theorem addge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addge01 8234	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
2		recn 7753	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		recn 7753	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
4		addcom 7899	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	5	breq2d 3941	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ ( A + B ) <-> A <_ ( B + A ) ) )
7	1, 6	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  add20  8236  addge02d  8296  nn0addge2  9024  difelfznle  9912  subfzo0  10019