Theorem addge02 7721

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
addge02	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Proof of Theorem addge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addge01 7720	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
2		recn 7245	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		recn 7245	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
4		addcom 7389	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
5	2, 3, 4	syl2an 283	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	5	breq2d 3818	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ ( A + B ) <-> A <_ ( B + A ) ) )
7	1, 6	bitrd 186	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( B + A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565   CCcc 7118   RRcr 7119   0cc0 7120   + caddc 7123   <_ cle 7293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-cnv 4400  df-iota 4918  df-fv 4961  df-ov 5568  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298

This theorem is referenced by:  add20  7722  addge02d  7778  nn0addge2  8479  difelfznle  9300  subfzo0  9405