Theorem addgt0sr 7576

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	|- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> 0R <R ( A +R B ) )

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . 4 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> 0R <R B )
2		ltrelsr 7539	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4586	. . . . . 6 |- ( 0R <R B -> ( 0R e. R. /\ B e. R. ) )
4	3	simprd 113	. . . . 5 |- ( 0R <R B -> B e. R. )
5	2	brel 4586	. . . . . 6 |- ( 0R <R A -> ( 0R e. R. /\ A e. R. ) )
6	5	simprd 113	. . . . 5 |- ( 0R <R A -> A e. R. )
7		0r 7551	. . . . . 6 |- 0R e. R.
8		ltasrg 7571	. . . . . 6 |- ( ( 0R e. R. /\ B e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R <R B <-> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) ) )
9	7, 8	mp3an1 1302	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R <R B <-> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) ) )
10	4, 6, 9	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> ( 0R <R B <-> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) ) )
11	1, 10	mpbid 146	. . 3 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) )
12	6	adantr 274	. . . 4 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> A e. R. )
13		0idsr 7568	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )
14	13	breq1d 3934	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) <-> A <R ( A +R B ) ) )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> ( ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) <-> A <R ( A +R B ) ) )
16	11, 15	mpbid 146	. 2 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> A <R ( A +R B ) )
17		ltsosr 7565	. . 3 |- <R Or R.
18	17, 2	sotri 4929	. 2 |- ( ( 0R <R A /\ A <R ( A +R B ) ) -> 0R <R ( A +R B ) )
19	16, 18	syldan 280	1 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> 0R <R ( A +R B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   R.cnr 7098   0Rc0r 7099   +R cplr 7102   <R cltr 7104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-ltr 7531  df-0r 7532

This theorem is referenced by: (None)