ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0sr Unicode version

Theorem addgt0sr 7003
Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
addgt0sr  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )

Proof of Theorem addgt0sr
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  B )
2 ltrelsr 6966 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4412 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  B  ->  ( 0R  e.  R.  /\  B  e.  R. ) )
43simprd 112 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  B  ->  B  e. 
R. )
52brel 4412 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  A  ->  ( 0R  e.  R.  /\  A  e.  R. ) )
65simprd 112 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  A  e. 
R. )
7 0r 6978 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
8 ltasrg 6998 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  B  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  <R  B  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) ) )
97, 8mp3an1 1256 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  <R  B  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) ) )
104, 6, 9syl2anr 284 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  -> 
( 0R  <R  B  <->  ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) ) )
111, 10mpbid 145 . . 3  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  -> 
( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B ) )
126adantr 270 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  A  e.  R. )
13 0idsr 6995 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
1413breq1d 3797 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B )  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
1512, 14syl 14 . . 3  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  -> 
( ( A  +R  0R )  <R  ( A  +R  B )  <->  A  <R  ( A  +R  B ) ) )
1611, 15mpbid 145 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  A  <R  ( A  +R  B ) )
17 ltsosr 6992 . . 3  |-  <R  Or  R.
1817, 2sotri 4744 . 2  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  A  <R  ( A  +R  B ) )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
1916, 18syldan 276 1  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  B )  ->  0R  <R  ( A  +R  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   R.cnr 6538   0Rc0r 6539    +R cplr 6542    <R cltr 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-iplp 6709  df-iltp 6711  df-enr 6954  df-nr 6955  df-plr 6956  df-ltr 6958  df-0r 6959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator