Theorem addgtge0 7621

Description: The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addgtge0	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Proof of Theorem addgtge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 7316	. 2 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		0re 7181	. . . 4 |- 0 e. RR
3		ltleadd 7617	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( 0 < A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
4	2, 2, 3	mpanl12 427	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) ) )
5	4	imp 122	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 + 0 ) < ( A + B ) )
6	1, 5	syl5eqbrr 3827	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 < ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   + caddc 7046   < clt 7215   <_ cle 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-iota 4897  df-fv 4940  df-ov 5546  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221

This theorem is referenced by:  recexaplem2  7809  recp1lt1  8044  resqrexlem1arp  10029  resqrexlemp1rp  10030  resqrexlemglsq  10046