Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addlocpr Unicode version

 Description: Locatedness of addition on positive reals. Lemma 11.16 in [BauerTaylor], p. 53. The proof in BauerTaylor relies on signed rationals, so we replace it with another proof which applies prarloc 6659 to both and , and uses nqtri3or 6552 rather than prloc 6647 to decide whether is too big to be in the lower cut of (and deduce that if it is, then must be in the upper cut). What the two proofs have in common is that they take the difference between and to determine how tight a range they need around the real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexnqq 6564 . . . . . 6
21biimpa 284 . . . . 5
323adant1 933 . . . 4
4 halfnqq 6566 . . . . . 6
54ad2antrl 467 . . . . 5
6 prop 6631 . . . . . . . . . 10
7 prarloc 6659 . . . . . . . . . 10
86, 7sylan 271 . . . . . . . . 9
98adantlr 454 . . . . . . . 8
1093ad2antl1 1077 . . . . . . 7
1110ad2ant2r 486 . . . . . 6
12 prop 6631 . . . . . . . . . . . . . 14
13 prarloc 6659 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13sylan 271 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantll 453 . . . . . . . . . . . 12
16153ad2antl1 1077 . . . . . . . . . . 11
1716ad2ant2r 486 . . . . . . . . . 10
1817adantr 265 . . . . . . . . 9
19 simpll1 954 . . . . . . . . . . . . . 14
2019ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . 13
2120simpld 109 . . . . . . . . . . . 12
2220simprd 111 . . . . . . . . . . . 12
23 simpll3 956 . . . . . . . . . . . . 13
2423ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12
25 simplrl 495 . . . . . . . . . . . . 13
2625adantr 265 . . . . . . . . . . . 12
27 simplrr 496 . . . . . . . . . . . . . 14
28 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029ad2antll 468 . . . . . . . . . . . . . 14
3127, 30mpbird 160 . . . . . . . . . . . . 13
3231ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12
33 simprll 497 . . . . . . . . . . . . 13
3433adantr 265 . . . . . . . . . . . 12
35 simprlr 498 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantr 265 . . . . . . . . . . . 12
37 simplrr 496 . . . . . . . . . . . 12
38 simprll 497 . . . . . . . . . . . 12
39 simprlr 498 . . . . . . . . . . . 12
40 simprr 492 . . . . . . . . . . . 12
4121, 22, 24, 26, 32, 34, 36, 37, 38, 39, 40addlocprlem 6691 . . . . . . . . . . 11
4241expr 361 . . . . . . . . . 10
4342rexlimdvva 2457 . . . . . . . . 9
4418, 43mpd 13 . . . . . . . 8
4544expr 361 . . . . . . 7
4645rexlimdvva 2457 . . . . . 6
4711, 46mpd 13 . . . . 5
485, 47rexlimddv 2454 . . . 4
493, 48rexlimddv 2454 . . 3
50493expia 1117 . 2
5150ralrimivva 2418 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wb 102   wo 639   w3a 896   wceq 1259   wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  cop 3406   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  c1st 5793  c2nd 5794  cnq 6436   cplq 6438   cltq 6441  cnp 6447   cpp 6449 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-iplp 6624 This theorem is referenced by:  addclpr  6693
 Copyright terms: Public domain W3C validator