ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodid Unicode version

Theorem addmodid 10113
Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
addmodid  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  A )

Proof of Theorem addmodid
StepHypRef Expression
1 simp2 967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  NN )
21nncnd 8702 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  CC )
32mulid2d 7752 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
1  x.  M )  =  M )
43eqcomd 2123 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  =  ( 1  x.  M ) )
54oveq1d 5757 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  ( M  +  A )  =  ( ( 1  x.  M )  +  A ) )
65oveq1d 5757 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  ( ( ( 1  x.  M )  +  A )  mod 
M ) )
7 1zzd 9049 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  1  e.  ZZ )
8 nnq 9393 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
983ad2ant2 988 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  QQ )
10 simp1 966 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  NN0 )
1110nn0zd 9139 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  ZZ )
12 zq 9386 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  QQ )
14 nn0re 8954 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
15143ad2ant1 987 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  RR )
1610nn0ge0d 9001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  0  <_  A )
17 simp3 968 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  <  M )
18 0re 7734 . . . . 5  |-  0  e.  RR
19 nnre 8695 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
2019rexrd 7783 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR* )
21203ad2ant2 988 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  RR* )
22 elico2 9688 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR* )  -> 
( A  e.  ( 0 [,) M )  <-> 
( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  M ) ) )
2318, 21, 22sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) M )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  M
) ) )
2415, 16, 17, 23mpbir3and 1149 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  ( 0 [,) M
) )
25 mulqaddmodid 10105 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  QQ )  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ( 0 [,) M
) ) )  -> 
( ( ( 1  x.  M )  +  A )  mod  M
)  =  A )
267, 9, 13, 24, 25syl22anc 1202 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( ( 1  x.  M )  +  A
)  mod  M )  =  A )
276, 26eqtrd 2150 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593   RR*cxr 7767    < clt 7768    <_ cle 7769   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   QQcq 9379   [,)cico 9641    mod cmo 10063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-ico 9645  df-fl 10011  df-mod 10064
This theorem is referenced by:  addmodidr  10114
  Copyright terms: Public domain W3C validator