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Theorem addmodlteq 9348
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  I  =  J
) )

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9106 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  I  e.  ZZ )
213ad2ant1 936 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  I  e.  ZZ )
3 zq 8658 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  I  e.  QQ )
5 simp3 917 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  S  e.  ZZ )
6 zq 8658 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ZZ  ->  S  e.  QQ )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  S  e.  QQ )
8 elfzo0 9140 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
98biimpi 117 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  < 
N ) )
1093ad2ant1 936 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
1110simp2d 928 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
12 nnq 8665 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  QQ )
1411nngt0d 8033 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  0  <  N
)
15 modqaddmod 9313 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  =  ( ( I  +  S )  mod  N ) )
164, 7, 13, 14, 15syl22anc 1147 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  =  ( ( I  +  S
)  mod  N )
)
1716eqcomd 2061 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  +  S )  mod 
N )  =  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N ) )
18 elfzoelz 9106 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
19183ad2ant2 937 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
20 zq 8658 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  QQ )
2119, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  J  e.  QQ )
22 modqaddmod 9313 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
)  =  ( ( J  +  S )  mod  N ) )
2321, 7, 13, 14, 22syl22anc 1147 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod 
N )  =  ( ( J  +  S
)  mod  N )
)
2423eqcomd 2061 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( J  +  S )  mod 
N )  =  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N ) )
2517, 24eqeq12d 2070 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  =  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N ) ) )
262, 11zmodcld 9295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  NN0 )
2726nn0zd 8417 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  ZZ )
2827, 5zaddcld 8423 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  ZZ )
2928, 11zmodcld 9295 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 8294 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  CC )
3119, 11zmodcld 9295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  NN0 )
3231nn0zd 8417 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  ZZ )
3332, 5zaddcld 8423 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  ZZ )
3433, 11zmodcld 9295 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  NN0 )
3534nn0cnd 8294 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod 
N )  e.  CC )
3630, 35subeq0ad 7395 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  =  0  <-> 
( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  =  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) ) )
37 oveq1 5547 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  =  0  ->  (
( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod 
N )  -  (
( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )
384, 13, 14modqcld 9278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  QQ )
39 qaddcl 8667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  mod  N
)  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  ->  ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
4038, 7, 39syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
4121, 13, 14modqcld 9278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  QQ )
42 qaddcl 8667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  mod  N
)  e.  QQ  /\  S  e.  QQ )  ->  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
4341, 7, 42syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  QQ )
44 modqsubmodmod 9333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  e.  QQ  /\  ( ( J  mod  N )  +  S )  e.  QQ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  <  N ) )  ->  ( (
( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  mod  N ) )
4540, 43, 13, 14, 44syl22anc 1147 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  mod 
N ) )
4626nn0cnd 8294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  e.  CC )
4731nn0cnd 8294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  e.  CC )
485zcnd 8420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  S  e.  CC )
4946, 47, 48pnpcan2d 7423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  =  ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) ) )
5049oveq1d 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  +  S )  -  ( ( J  mod  N )  +  S ) )  mod 
N )  =  ( ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  mod  N ) )
5145, 50eqtrd 2088 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( I  mod  N
)  -  ( J  mod  N ) )  mod  N ) )
52 q0mod 9305 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  0  <  N )  -> 
( 0  mod  N
)  =  0 )
5313, 14, 52syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( 0  mod 
N )  =  0 )
5451, 53eqeq12d 2070 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
)  <->  ( ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  mod  N
)  =  0 ) )
55 zmodidfzoimp 9304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( I  mod  N )  =  I )
56553ad2ant1 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  mod  N )  =  I )
57 zmodidfzoimp 9304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  mod  N )  =  J )
58573ad2ant2 937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  mod  N )  =  J )
5956, 58oveq12d 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  =  ( I  -  J ) )
6059oveq1d 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  mod  N )  -  ( J  mod  N ) )  mod  N
)  =  ( ( I  -  J )  mod  N ) )
6160eqeq1d 2064 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  -  ( J  mod  N ) )  mod  N )  =  0  <->  ( ( I  -  J )  mod 
N )  =  0 ) )
62 qsubcl 8670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  QQ  /\  J  e.  QQ )  ->  ( I  -  J
)  e.  QQ )
634, 21, 62syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  -  J )  e.  QQ )
64 modq0 9279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  -  J
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ  /\  0  <  N )  ->  (
( ( I  -  J )  mod  N
)  =  0  <->  (
( I  -  J
)  /  N )  e.  ZZ ) )
6563, 13, 14, 64syl3anc 1146 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  -  J )  mod  N )  =  0  <->  ( ( I  -  J )  /  N )  e.  ZZ ) )
662, 19zsubcld 8424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  -  J )  e.  ZZ )
67 zdiv 8386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( I  -  J
)  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  <-> 
( ( I  -  J )  /  N
)  e.  ZZ ) )
6811, 66, 67syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  <-> 
( ( I  -  J )  /  N
)  e.  ZZ ) )
69 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  k  = 
0 )
7069oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  0 ) )
7111nncnd 8004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
7271mul01d 7462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
7372ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
7470, 73eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( N  x.  k )  =  0 )
7574eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  <->  0  =  ( I  -  J
) ) )
76 eqcom 2058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  =  ( I  -  J )  <->  ( I  -  J )  =  0 )
7710simp1d 927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  I  e.  NN0 )
7877ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  I  e.  NN0 )
7978nn0cnd 8294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  I  e.  CC )
80 elfzo0 9140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
8180biimpi 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
82813ad2ant2 937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
8382simp1d 927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  J  e.  NN0 )
8483ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  J  e.  NN0 )
8584nn0cnd 8294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  J  e.  CC )
8679, 85subeq0ad 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( (
I  -  J )  =  0  <->  I  =  J ) )
8786biimpd 136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( (
I  -  J )  =  0  ->  I  =  J ) )
8876, 87syl5bi 145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( 0  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J ) )
8975, 88sylbid 143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  ->  ( ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J ) )
9089imp 119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  k  =  0 )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J
) )  ->  I  =  J )
9190an32s 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  =  0 )  ->  I  =  J )
92 subfzo0 9199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J
)  /\  ( I  -  J )  <  N
) )
93923adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J
)  /\  ( I  -  J )  <  N
) )
9493ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J )  /\  ( I  -  J
)  <  N )
)
9594simprd 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
I  -  J )  <  N )
96 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )
9771mulid1d 7102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9897ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9995, 96, 983brtr4d 3822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  <  ( N  x.  1 ) )
100 simpllr 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
101100zred 8419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
102 1red 7100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
10311nnrpd 8719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
104103ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
105101, 102, 104ltmul2d 8763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <  1  <->  ( N  x.  k )  <  ( N  x.  1 ) ) )
10699, 105mpbird 160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  <  1 )
107 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
108107nnge1d 8032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  k )
109102, 101, 108lensymd 7197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  k  <  1 )
110106, 109pm2.21dd 560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  k  e.  NN )  ->  I  =  J )
11193ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( -u N  <  ( I  -  J )  /\  ( I  -  J
)  <  N )
)
112111simpld 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u N  <  ( I  -  J
) )
113 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )
114112, 113breqtrrd 3818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u N  <  ( N  x.  k
) )
11511nnzd 8418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
116115adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
117 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
118116, 117zmulcld 8425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  k )  e.  ZZ )
119118zred 8419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  k )  e.  RR )
120119ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  k )  e.  RR )
12111nnred 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
122121ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
123120, 122possumd 7634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
0  <  ( ( N  x.  k )  +  N )  <->  -u N  < 
( N  x.  k
) ) )
124114, 123mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( N  x.  k )  +  N
) )
12597eqcomd 2061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
126125oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  k )  +  N )  =  ( ( N  x.  k
)  +  ( N  x.  1 ) ) )
127126ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( N  x.  k
)  +  N )  =  ( ( N  x.  k )  +  ( N  x.  1 ) ) )
12871ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
129117zcnd 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
130129ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
131 1cnd 7101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
132128, 130, 131adddid 7109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  k )  +  ( N  x.  1 ) ) )
133127, 132eqtr4d 2091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( N  x.  k
)  +  N )  =  ( N  x.  ( k  +  1 ) ) )
134124, 133breqtrd 3816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  <  ( N  x.  (
k  +  1 ) ) )
135117peano2zd 8422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
136116, 135zmulcld 8425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
137136zred 8419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
138137ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
139 0red 7086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
14071adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
141135zcnd 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
142140, 141mulcomd 7106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  N ) )
143142ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  N ) )
144135zred 8419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
145144ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
146 zcn 8307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
147 1cnd 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
148146, 147addcomd 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  k ) )
149147, 146subnegd 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1  -  -u k
)  =  ( 1  +  k ) )
150148, 149eqtr4d 2091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  - 
-u k ) )
151150ad3antlr 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  - 
-u k ) )
152 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u k  e.  NN )
153152nnge1d 8032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  1  <_ 
-u k )
154 1red 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
155152nnred 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -u k  e.  RR )
156154, 155suble0d 7601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( 1  -  -u k
)  <_  0  <->  1  <_  -u k ) )
157153, 156mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
1  -  -u k
)  <_  0 )
158151, 157eqbrtrd 3812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  <_  0 )
15911nnnn0d 8292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
160159nn0ge0d 8295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  0  <_  N
)
161160ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  0  <_  N )
162 mulle0r 7985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( ( k  +  1 )  <_ 
0  /\  0  <_  N ) )  ->  (
( k  +  1 )  x.  N )  <_  0 )
163145, 122, 158, 161, 162syl22anc 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  (
( k  +  1 )  x.  N )  <_  0 )
164143, 163eqbrtrd 3812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( k  +  1 ) )  <_  0 )
165138, 139, 164lensymd 7197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  -.  0  <  ( N  x.  ( k  +  1 ) ) )
166134, 165pm2.21dd 560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  /\  -u k  e.  NN )  ->  I  =  J )
167 elz 8304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  <->  ( k  e.  RR  /\  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) ) )
168167simprbi 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
169168ad2antlr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  ->  ( k  =  0  \/  k  e.  NN  \/  -u k  e.  NN ) )
17091, 110, 166, 169mpjao3dan 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J ) )  ->  I  =  J )
171170ex 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  k
)  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J )
)
172171rexlimdva 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( N  x.  k )  =  ( I  -  J )  ->  I  =  J ) )
17368, 172sylbird 163 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  -  J )  /  N )  e.  ZZ  ->  I  =  J ) )
17465, 173sylbid 143 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  -  J )  mod  N )  =  0  ->  I  =  J ) )
17561, 174sylbid 143 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  -  ( J  mod  N ) )  mod  N )  =  0  ->  I  =  J ) )
17654, 175sylbid 143 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N
)  -  ( ( ( J  mod  N
)  +  S )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
)  ->  I  =  J ) )
17737, 176syl5 32 . . . 4  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( I  mod  N )  +  S )  mod  N )  -  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
) )  =  0  ->  I  =  J ) )
17836, 177sylbird 163 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( I  mod  N
)  +  S )  mod  N )  =  ( ( ( J  mod  N )  +  S )  mod  N
)  ->  I  =  J ) )
17925, 178sylbid 143 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  ->  I  =  J ) )
180 oveq1 5547 . . 3  |-  ( I  =  J  ->  (
I  +  S )  =  ( J  +  S ) )
181180oveq1d 5555 . 2  |-  ( I  =  J  ->  (
( I  +  S
)  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod 
N ) )
182179, 181impbid1 134 1  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  I  =  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ w3o 895    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    x. cmul 6952    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245   -ucneg 7246    / cdiv 7725   NNcn 7990   NN0cn0 8239   ZZcz 8302   QQcq 8651   RR+crp 8681  ..^cfzo 9101    mod cmo 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fz 8977  df-fzo 9102  df-fl 9222  df-mod 9273
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